[論文レビュー] Handsaw quiver varieties and finite W-algebras

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、パラボリック・ローモン空間として実現されるハンドソー・キーバ・バナディエイリューションと、A型有限W代数の間の幾何的ブリッジを確立する。ハンドソー・キーバ・バナディエイリューションのC*-固定点集合がA型の重み付きキーバ・バナディエイリューションと同型であることを示し、これにより交差コホモロジーを用いたW代数の単純加群の新しい幾何的実現が可能となり、Kazhdan-Lusztig多項式を1で評価した結果を用いた、Brundan-Kleshchevの予想（Verma加群の合成多重度に関する）の新しい証明が得られる。

ABSTRACT

Following Braverman-Finkelberg-Feigin-Rybnikov (arXiv:1008.3655), we study the convolution algebra of a handsaw quiver variety, a.k.a. a parabolic Laumon space, and a finite W-algebra of type A. This is a finite analog of the AGT conjecture on 4-dimensional supersymmetric Yang-Mills theory with surface operators. Our new observation is that the C^*-fixed point set of a handsaw quiver variety is isomorphic to a graded quiver variety of type A, which was introduced by the author in connection with the representation theory of a quantum affine algebra. As an application, simple modules of the W-algebra are described in terms of IC sheaves of graded quiver varieties of type A, which were known to be related to Kazhdan-Lusztig polynomials. This gives a new proof of a conjecture by Brundan-Kleshchev on composition multiplicities on Verma modules, which was proved by Losev, in a wider context, by a different method.

研究の動機と目的

• AGT予想の有限版（表面オペレーターを伴う）を動機として、ハンドソー・キーバ・バナディエイリューションとA型有限W代数との間の幾何的対応を確立すること。
• ハンドソー・キーバ・バナディエイリューションのC*-固定点集合の構造を明確にし、それがA型の重み付きキーバ・バナディエイリューションと同型であることを示すこと。
• 重み付きキーバ・バナディエイリューションの交差コホモロジーに関する既知の結果を応用し、有限W代数のVerma加群における単純加群の合成多重度の公式を導出すること。
• 交差コホモロジーとKazhdan-Lusztig多項式を用いて、有限W代数のVerma加群における合成多重度に関するBrundan-Kleshchev予想の新しい幾何的証明を提供すること。
• 今後のキーバ・バナディエイリューションを用いた有限W代数におけるテンソル積やミウラ変換の幾何的構成の基盤を築くこと。

提案手法

• 基底付きP¹から部分フラッグ多様体への写像の幾何を用いて、ハンドソー・キーバ・バナディエイリューションとパラボリック・ローモン空間との間の同型を自己完結的証明により特定する。
• 両者がキーバ・バナディエイリューションのC*-固定点として生じることを活用し、ハンドソー・キーバ・バナディエイリューションのC*-固定点集合がA型の重み付きキーバ・バナディエイリューションと同型であることを示す。
• 2つのハンドソー・キーバ・バナディエイリューションの積におけるヘッケ対応を構成し、畳み込み代数構造を用いて有限W代数を生成する。
• Steinberg型の多様体上に畳み込み代数を定義し、有限W代数からこの畳み込み代数への準同型を構成する。
• Gelfand-Tsetlin文字の幾何的実現を用いて、畳み込み代数の標準加群を有限W代数のVerma加群と特定する。
• 重み付きキーバ・バナディエイリューションの交差コホモロジー群を用いて合成多重度を計算し、Arakawaの結果を介してKazhdan-Lusztig多項式と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハンドソー・キーバ・バナディエイリューションのC*-固定点集合の構造は何か？ そしてそれはA型の重み付きキーバ・バナディエイリューションとどのように関係しているか？
• RQ2 ハンドソー・キーバ・バナディエイリューションの畳み込み代数は、A型有限W代数をどのように実現できるか？
• RQ3 有限W代数のVerma加群における単純加群の合成多重度は、交差コホモロジーを用いて幾何的に表現可能か？
• RQ4 C*-固定点集合と重み付きキーバ・バナディエイリューションとの同型は、表現論的予想の新しい証明をどのように可能にするか？
• RQ5 Kazhdan-Lusztig多項式を1で評価した結果と、有限W代数のVerma加群における合成多重度の正確な関係は何か？

主な発見

• ハンドソー・キーバ・バナディエイリューションのC*-固定点集合はA型の重み付きキーバ・バナディエイリューションと同型であり、2つの重要な代数的多様体のクラスを結ぶ幾何的ブリッジを提供する。
• A型有限W代数のVerma加群M(P)における単純加群L(Q)の合成多重度は、Kazhdan-Lusztig多項式P_{w_{LR}, x_{LR}}(1)に等しい。ここでw_{LR}とx_{LR}は、二重コセットS_λ \backslash S_N / S_μにおける最長長さ代表元である。
• この結果により、Brundan-Kleshchev予想（Verma加群における合成多重度に関する）の新しい幾何的証明が得られ、以前はLosevが別の方法で証明していたものである。
• 重み付きキーバ・バナディエイリューションの交差コホモロジー群は合成多重度を計算し、これら群は量子アフィン代数やヤンギアンの表現を制御することが知られている。
• C*-固定点集合と重み付きキーバ・バナディエイリューションとの同型により、量子群表現論における既知の結果を有限W代数の文脈に移すことが可能になる。
• この構成により、幾何的表現論の精神に則った標準加群のGelfand-Tsetlin文字の幾何的解釈が得られ、以前のq-文字に関する研究を拡張する。