[論文レビュー] Hankel determinant for a class of analytic functions

Milutin Obradović, Nikola Tuneski|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Analytic and geometric function theory参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、単位円板内における正則関数 $ f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \cdots $ が満たす引数条件 $ \left|\arg\left[\left(\frac{z}{f(z)}\right)^{1+\alpha}f'(z)\right]\right| < \gamma\frac{\pi}{2} $ を満たす場合の第二ハンケル行列式 $ |H_2(2)| = |a_2a_4 - a_3^2| $ の鋭鋭上界を確立する。ここで $ 0 < \alpha < 2 - \sqrt{2} $ かつ $ 0 < \gamma \leq \frac{1}{2}(\alpha^2 - 4\alpha + 2) $ である。この上界は $ \left(\frac{2\gamma}{2 - \alpha}\right)^2 $ であり、特定の極値関数によって達成される。

ABSTRACT

Let $f$ be analutic in the unit disk $\mathbb D$ and normalized so that $f(z)=z+a_2z^2+a_3z^3+\cdots$. In this paper we give sharp bound of Hankel determinant of the second order for the class of analytic unctions satisfying \[ \left|\arg \left[\left(\frac{z}{f(z)} ight)^{1+α}f'(z) ight] ight|

研究の動機と目的

• 単位円板内における正則関数のクラスに対して第二ハンケル行列式 $ |H_2(2)| = |a_2a_4 - a_3^2| $ の鋭鋭上界を特定すること。
• 引数条件 $ \left|\arg\left[\left(\frac{z}{f(z)}\right)^{1+\alpha}f'(z)\right]\right| < \gamma\frac{\pi}{2} $ を満たす関数を分析すること。ここで $ 0 < \alpha < 2 - \sqrt{2} $ かつ $ 0 < \gamma \leq \frac{1}{2}(\alpha^2 - 4\alpha + 2) $ である。
• 一般化された引数条件を用いて定義される新しいクラスを導入することで、単一関数および星型関数のクラスに対するハンケル行列式に関する既知の結果を拡張すること。
• 得られた上界の鋭鋭性を、明示的な極値関数を用いて証明すること。

提案手法

• 引数条件 $ \left|\arg\left[\left(\frac{z}{f(z)}\right)^{1+\alpha}f'(z)\right]\right| < \gamma\frac{\pi}{2} $ を、$ \omega $ を $ \omega(0) = 0 $ を満たすシュワーツ関数とするとき、$ \left(\frac{1 + \omega(z)}{1 - \omega(z)}\right)^\gamma $ への劣超越関係として表現すること。
• 劣超越関係の両辺をべき級数に展開し、$ z $、$ z^2 $、$ z^3 $ の係数を等置することで、$ a_2 $、$ a_3 $、$ a_4 $ を $ \omega(z) = c_1z + c_2z^2 + c_3z^3 + \cdots $ の係数 $ c_1 $、$ c_2 $、$ c_3 $ で表すこと。
• $ H_2(2) = a_2a_4 - a_3^2 $ の式を $ c_1 $、$ c_2 $、$ c_3 $ の関数として導出し、$ \alpha $ および $ \gamma $ に依存する係数 $ \mu $ および $ \nu $ を含むこと。
• シュワーツ関数の既知の係数の上限を適用する：$ |c_1| \leq 1 $、$ |c_2| \leq 1 - |c_1|^2 $、および $ |c_3| \leq 1 - |c_1|^2 - \frac{|c_2|^2}{1 + |c_1|} $。ただし $ a_2 \geq 0 $ であると仮定し、$ c_1 \geq 0 $ となる。
• 制約条件下で得られた $ |H_2(2)| $ の式を最大化する。$ 0 < \alpha < 2 - \sqrt{2} $ の範囲で $ \frac{(1-\alpha)(3-\alpha)}{(2-\alpha)^2} \geq \frac{c_1}{1 + c_1} $ が成り立つことを利用して、上界を簡略化する。
• 与えられたパrameter範囲で不等式 $ \frac{(1-\alpha)(3-\alpha)}{(2-\alpha)^2} > \left|\frac{1}{3} - \nu_1\right| $ が成り立つことを証明し、上界式の最大値が導出された上限で達成されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則関数が引数条件 $ \left|\arg\left[\left(\frac{z}{f(z)}\right)^{1+\alpha}f'(z)\right]\right| < \gamma\frac{\pi}{2} $ を満たす場合、第二ハンケル行列式 $ |H_2(2)| = |a_2a_4 - a_3^2| $ の鋭鋭上界は何か？
• RQ2 パラメータ $ \alpha \in (0, 2 - \sqrt{2}) $ および $ \gamma \leq \frac{1}{2}(\alpha^2 - 4\alpha + 2) $ に対して、この上界はどのように依存するか？
• RQ3 得られた上界は鋭鋭的であり、もしそうならば、どの関数が等号を達成するか？
• RQ4 $ a_2 $、$ a_3 $、$ a_4 $ の係数推定値は、シュワーツ関数の係数 $ c_1 $、$ c_2 $、$ c_3 $ で明示的に表現できるか？
• RQ5 どのような $ \alpha $ および $ \gamma $ の条件下で、上界式が $ \left(\frac{2\gamma}{2 - \alpha}\right)^2 $ に簡略化されるか？

主な発見

• パラメータ $ 0 < \alpha < 2 - \sqrt{2} $ および $ 0 < \gamma \leq \frac{1}{2}(\alpha^2 - 4\alpha + 2) $ の範囲で、第二ハンケル行列式の鋭鋭上界は $ |H_2(2)| \leq \left(\frac{2\gamma}{2 - \alpha}\right)^2 $ である。
• 上界は関数 $ f_2(z) $ によって達成され、$ \left(\frac{z}{f_2(z)}\right)^{1+\alpha}f_2'(z) = \left(\frac{1 + z^2}{1 - z^2}\right)^\gamma $ を満たす。このとき $ a_2 = a_4 = 0 $、$ a_3 = \frac{2\gamma}{2 - \alpha} $、$ H_2(2) = -\frac{4\gamma^2}{(2 - \alpha)^2} $ が得られる。
• 係数の式は $ a_2 = \frac{2\gamma}{1 - \alpha}c_1 $、$ a_3 = \frac{2\gamma}{2 - \alpha}c_2 + \frac{2(3 - \alpha)\gamma^2}{(1 - \alpha)^2(2 - \alpha)}c_1^2 $、$ a_4 = \frac{2\gamma}{3 - \alpha}\left(c_3 + \mu c_1 c_2 + \nu c_1^3\right) $ として導出され、$ \mu $ および $ \nu $ は $ \alpha $ および $ \gamma $ に依存する。
• 上界の最大値はシュワーツ関数の係数制約を用いて上界を求める手法に依拠し、$ c_1 = 0 $、$ c_2 = 1 $、$ c_3 = 0 $ のとき最大値が達成されることを示した。これは極値関数と整合的である。
• 与えられたパラメータ範囲で不等式 $ \frac{(1-\alpha)(3-\alpha)}{(2-\alpha)^2} > \left|\frac{1}{3} - \nu_1\right| $ が成り立つため、導出された上界はタイトであることが保証される。
• 本結果は、星型関数および強星型関数に対するハンケル行列式に関する先行研究を、$ \alpha $ および $ \gamma $ を含む一般化された引数条件を用いて定義される新しいクラスを導入することで拡張している。