[論文レビュー] Hardness Results for Consensus-Halving

Aris Filos-Ratsikas, Søren Kristoffer Stiil Frederiksen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2016

Auction Theory and Applications参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、近似誤差ǫが定数である場合でも、コンSENSUS-HALVING問題がPPAD-hardのままであることを確立しており、追加のカットが定数個ある場合でもその難易度は保たれる。さらに、n−1回のカットでのǫ-近似解の存在を決定することはNP-hardであることが示され、精度の異なるレベルにおける問題の計算複雑性の理解が著しく洗練された。

ABSTRACT

The Consensus-halving problem is the problem of dividing an object into two portions, such that each of n agents has equal valuation for the two portions. We study the epsilon-approximate version, which allows each agent to have an epsilon discrepancy on the values of the portions. It was recently proven in [Filos-Ratsikas and Goldberg, 2018] that the problem of computing an epsilon-approximate Consensus-halving solution (for n agents and n cuts) is PPA-complete when epsilon is inverse-exponential. In this paper, we prove that when epsilon is constant, the problem is PPAD-hard and the problem remains PPAD-hard when we allow a constant number of additional cuts. Additionally, we prove that deciding whether a solution with n-1 cuts exists for the problem is NP-hard.

研究の動機と目的

• 近似誤差ǫがエージェント数とは無関係に定数である場合に、ǫ-近似コンセンサス・ハーリング解を求める計算複雑性を特定すること。
• 最小のnカットに加え、定数個の追加カットが許可される場合でも、問題の難易度が維持されるかを調査すること。
• n−1回のカットでのみǫ-近似解の存在を決定する問題の複雑性を検討すること。
• 特にPPADとPPAと比較して、コンセンサス・ハーリングと既知の複雑性クラスとの関係を明確にすること。

提案手法

• 近似一般化回路問題からの還元により、定数ǫおよび定数個の追加カットを伴うコンセンサス・ハーリングのPPAD-hard性を証明する。
• 3SATからの還元により、n−1回のカットでのǫ-近似解の存在を決定する問題のNP-hard性を確立する。
• SimmonsとSu [30] のアルゴリズムおよびファンのタッカーの補題の版の形式化により、問題がPPAに属することを示す。
• タッカーの補題およびその計算的変種の使用により、固定点定理を活用してPPAへの包含関係を確立する。
• 単体のタイプ（交互型、ほぼ交互型）とその符号に基づくグラフの構築により、解に至るパスをモデル化し、End-of-Line問題に類似した構造を再現する。
• 還元におけるメッシュサイズの不変性を応用し、半球に一致する任意の十分に細かい三角形分割に対して結果が成り立つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数近似誤差ǫを伴うコンセンサス・ハーリングはPPAD-hardか？
• RQ2 定数個の追加カットが許可される場合でも、コンセンサス・ハーリングのPPAD-hard性は維持されるか？
• RQ3 n−1回のカットでのみǫ-近似解の存在を決定することはNP-hardか？
• RQ4 ǫが逆指数的から定数に増加するに従い、コンセンサス・ハーリングの複雑性はどのように変化するか？

主な発見

• n人のエージェントに対してn回のカットを用いたǫ-近似コンセンサス・ハーリング解の計算問題は、定数個の追加カットが許可されてもPPAD-hardである。
• n−1回のカットでのǫ-近似解の存在を決定する問題は、3SATからの還元によりNP-hardであることが示された。
• n回のカットを用いたǫ-近似解の探索問題は、タッカーの補題への還元により、複雑性クラスPPAに含まれる。
• PPAD-hard性の結果は、標準的な計算複雑性の仮定のもとで成り立ち、PPAD-hard問題は多項式時間アルゴリズムを有しない。
• 本研究の結果により、従来の研究における重要なギャップが埋められ、定数ǫに対しても難易度が保たれることが示された。これは、土地分割などの実世界の応用においてより関連性が高い。
• 本研究の結果は、定数ǫのもとでコンセンサス・ハーリングとネックレス・スプリッティング問題との計算的同等性を支持し、後者に対してもPPAD-hard性の結果を適用可能にする。