[論文レビュー] Hardy-Schatten Norms of Systems, Output Energy Cumulants and Linear Quadro-Quartic Gaussian Control

Igor G. Vladimirov, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、閉ループ系の${\cal H}_2$および${\cal H}_4$-ノルムを用いて、単位時間あたりの出力エネルギーの平均と分散の組み合わせを最小化する、新しい線形四次四次ガウス（LQQG）制御フレームワークを提案する。最適コントローラは、四次四次性能指標のフレシェ微分を用いて導出され、標準LQGコントローラから初期化されるホモトピー法により、常微分方程式（ODE）の数値積分によって計算される。

ABSTRACT

This paper is concerned with linear stochastic control systems in state space. The integral of the squared norm of the system output over a bounded time interval is interpreted as energy. The cumulants of the output energy in the infinite-horizon limit are related to Schatten norms of the system in the Hardy space of transfer functions and the risk-sensitive performance index. We employ a novel performance criterion which seeks to minimize a combination of the average value and the variance of the output energy of the system per unit time. The resulting linear quadro-quartic Gaussian control problem involves the H2 and H4-norms of the closed-loop system. We obtain equations for the optimal controller and outline a homotopy method which reduces the solution of the problem to the numerical integration of a differential equation initialized by the standard linear quadratic Gaussian controller.

研究の動機と目的

• 線形確率的システムにおける出力エネルギーの平均と分散を同時に最小化する性能基準の開発。
• ハードイ・シュタットンノルム、特に${\cal H}_4$-ノルムを用いて、リスクセンシティブ制御を高次モーメント（累積量）を組み込む形で拡張。
• 出力エネルギーの2次および4次統計量を捉える線形四次四次ガウス（LQQG）制御問題の定式化。
• 性能指標に関するコントローラーパrameterに対するフレシェ微分を用いた最適性の必要条件の導出。
• ホモトピー法を提案し、仮想時間パラメータに沿って標準LQGコントローラから出発し、LQQGコントローラを数値的に解く。

提案手法

• 性能指標は、閉ループ系の${\cal H}_2$-ノルム（平均出力エネルギー）と${\cal H}_4$-ノルム（分散関連エネルギー累積量）を、リスク感受性パラメータ$\theta$で重み付けした組み合わせで構成される。
• 最適コントローラは、四次四次関数的汎関数のフレシェ微分をゼロと置くことで導出され、代数的リャプノフ方程式と代数的方程式の連立系が得られる。
• ホモトピー法では、リスク感受性パラメータ$\theta$を仮想時間変数とみなして、非線形方程式をODEに変換し、数値積分を可能にする。
• ODEは$\theta = 0$で初期化され、これは標準LQGコントローラに対応し、ホモトピー経路に沿ってコントローラの状態空間行列を進化させる。
• 2次フレシェ微分は、システム同値変換群の接空間の直交補空間上での正定値性を制限することで、解の安定性と一意性を保証する。
• ホモトピーODEにおけるヘッセ作用素の逆演算は、行列のベクトル化と感度伝搬のためのリャプノフ型方程式の解法により計算可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次出力エネルギー累積量、特に分散を、確率的制御性能指標に体系的かつ一貫して組み込む方法は何か？
• RQ2 ${\cal H}_4$-ノルムは、LQGパラダイムを越えて、出力エネルギーの揺らぎの時間スケール行動をどのように定量化するか？
• RQ3 ${\cal H}_2$および${\cal H}_4$-ノルムを併用することで、LQGとリスクセンシティブ制御を統合的に一般化するフレームワークを構築可能か？
• RQ4 このような高次性能基準に対する最適コントローラを実用的に効率的に計算する方法は何か？
• RQ5 LQGコントローラから最適LQQGコントローラへの連続的経路が存在し、ホモトピー続行法により数値計算が可能か？

主な発見

• LQQG問題の最適コントローラは、${\cal H}_2$および${\cal H}_4$-ノルムを主要構成要素とする、代数的リャプノフ方程式と代数的方程式の連立系を満たす。
• $\theta = 0$の場合、導出された方程式は標準LQGコントローラに簡略化され、従来の理論と整合性を確認する。
• ${\cal H}_4$-ノルムは、出力エネルギー分散が顕著になる時間スケールを定量化し、一時的エネルギー行動に関する洞察を提供する。
• ホモトピー法により、LQG解から初期化されるODEの数値積分が可能となり、LQQGコントローラが計算可能である。ODEの右辺には、${\cal H}_4$-ノルムのフレシェ微分が関与する。
• 性能指標の2次フレシェ微分が、変換群の接空間の直交補空間上で正定値であることが、強い局所的最小値を保証する。
• ホモトピーODEにおけるヘッセ作用素の逆演算は、ベクトル化とリャプノフ型方程式の解法により計算可能であり、実装が可能である。