[論文レビュー] Harmonic Chain with Weak Dissipation

А. А. Лыков, V. A. Malyshev|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2013

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、N 個の古典的粒子で構成される一次元有限調和鎖を、そのうちの1つの粒子にのみ線形減衰を適用した系を研究する。線形代数およびリャプノフ安定性理論を用いて、熱力学的極限（N→∞）において、一般の初期条件および一般の減衰粒子の選択に対して、エネルギー1粒子あたりの値が、一般の場合に指数関数的に減衰するため、0に近づくことを証明する。

ABSTRACT

We consider finite harmonic chain (consisting of N classical particles) plus dissipative force acting on one particle (called dissipating particle) only. We want to prove that "in the generic case" the energy (per particle) for the whole system tends to zero in the large time limit and then in the large N limit. "In the generic case" means: for almost all initial conditions and for almost any choice of the dissipating particle, in the thermodynamic limit.

研究の動機と目的

• 1粒子に減衰を適用した有限調和鎖における長時間にわたるエネルギー減衰を分析すること。
• 熱力学的極限（N→∞）において、1粒子あたりのエネルギーが0に近づく条件を特定すること。
• エネルギーが0に減衰する初期条件および減衰粒子の位置の集合を同定すること。
• 非減衰エネルギー部分空間（L₀）の次元をNおよび減衰粒子の位置nに応じて定量すること。
• 1粒子あたりの平均エネルギーが、長時間経過後、たとえ減衰が1粒子にのみ作用しても、熱力学的極限において無視できるほど小さくなることを示すこと。

提案手法

• 系を二次形式のハミルトニアン H = T + U としてモデル化し、T を運動エネルギー、U をポテンシャルエネルギーとする。また、速度に比例する力によって1粒子にのみ線形減衰を導入する。
• 動的挙動を 2N×2N 行列 A を用いて表現し、線形常微分方程式系 dψ/dt = Aψ を得る。ここで ψ は位相空間ベクトル（q,p）である。
• 2つのスカラー積を定義する：(·,·)₁ は標準的なエネルギーノルムを表し、(·,·)₂ はポテンシャル行列 V を用いたエネルギー表現を表す。
• リャプノフ安定性理論（Barbashin–Krasovskij の定理）を用いて、軌道が dH/dt = 0 となる集合（原点を除く）を避ける限り、エネルギーが0に減衰することを示す。
• 不変部分空間 L₀（保存エネルギー）および L₋（指数関数的に減衰するエネルギー）を特徴づけ、L = L₀ ⊕ L₋ が成り立つことを示す。
• ポテンシャル行列 V の固有ベクトルと、減衰粒子の位置 n における単位ベクトル eₙ との直交性を用いて、L₀ の次元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い減衰が1粒子にのみ作用する有限調和鎖において、熱力学的極限で1粒子あたりのエネルギーが0に近づく条件は何か？
• RQ2 非減衰エネルギー部分空間（L₀）の次元は、系のサイズ N および減衰粒子の位置 n にどのように依存するか？
• RQ3 すべての可能な減衰粒子位置についての L₀ の平均次元の漸近的挙動は何か？
• RQ4 なぜエネルギー減衰の挙動は N および n に対して極めて不規則であり、それが長時間における1粒子あたりエネルギーにどのように影響するか？
• RQ5 減衰が1粒子にのみ作用する場合でも、1粒子あたりのエネルギーが熱力学的極限で消えることを示せるか？

主な発見

• 非減衰エネルギー部分空間 L₀ の次元は、dim L₀,n = gcd(N, 2n−1) − 1 で与えられ、N および n に強く依存することが示された。
• ほとんどすべての初期条件およびほとんどすべての減衰粒子の位置 n に対して、時間 t→∞ の極限を経て、N→∞ の極限で1粒子あたりのエネルギーは0に近づく。
• 平均次元 S(N)/N = (1/N)∑ₙ=1^N dim L₀,n は、任意の ε>0 に対して c(ε)N^ε で有界であるため、多項式より小さい成長を示す。
• 長時間経過後の1粒子あたりの平均エネルギーは O(N^{−1+ε}) であり、N→∞ の極限で0に近づく。これは、減衰が1粒子にのみ作用しても成り立つ。
• 熱力学的極限において、残存する1粒子あたりのエネルギーは無視できるほど小さく（消える）、系全体にわたりエネルギーが効果的に散逸していることが確認された。
• 一般の初期条件および一般の減衰粒子の位置に対してこの結果が成り立ち、パラメータ空間における例外的な集合は測度0である。