[論文レビュー] Harmonic maps and representations of non-uniform lattices of PU(m,1)

Vincent Koziarz, Julien Maubon|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2003

Advanced Algebra and Geometry被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、複素双曲空間 H^m_C から H^n_C への有限エネルギーの調和等長写像を構成することにより、PU(m,1) の非一様格子の PU(n,1) への表現の剛性を微分幾何的証明した。主な結果は、最大 Burger-Iozzi 不変量をとることと、表現が C-フックス的であることの同値性であり、トーロの結果を非一様格子へ一般化し、負のオイラー標数をもつ曲面群のための新しい不変量を提供する。

ABSTRACT

We study representations of lattices of PU(m,1) into PU(n,1). We show that if a representation is reductive and if m is at least 2, then there exists a finite energy harmonic equivariant map from complex hyperbolic m-space to complex hyperbolic n-space. This allows us to give a differential geometric proof of rigidity results obtained by M. Burger and A. Iozzi. We also define a new invariant associated to representations into PU(n,1) of non-uniform lattices in PU(1,1), and more generally of fundamental groups of orientable surfaces of finite topological type and negative Euler characteristic. We prove that this invariant is bounded by a constant depending only on the Euler characteristic of the surface and we give a complete characterization of representations with maximal invariant, thus generalizing the results of D. Toledo for uniform lattices.

研究の動機と目的

• 非一様格子の PU(m,1) への表現の剛性を示すために、有界コホホロジーの代わりに微分幾何的アプローチを提供すること。
• 負のオイラー標数をもつ曲面の基本群の PU(n,1) への表現に対して、新しい不変量 τ(ρ) を定義すること。
• この不変量の最大値をとる表現を特徴づけ、均一格子にとどまらないトーロの結果を一般化すること。
• 最大不変量であることと、表現が C-フックス的である、すなわち H^n_C 内に完全測地的コピー H^m_C を安定化することの同値性を証明すること。

提案手法

• 再結合的表現 ρ としての、PU(m,1) の非一様格子の H^m_C から H^n_C への有限エネルギーの ρ-等長な調和写像を構成する。
• 商空間 Γ\H^m_C 上の Kähler 形式と H^n_C 上の Kähler 形式のプルバックとの L^2 積分として、Burger-Iozzi 不変量 τ(ρ) を定義する。
• 極近傍の周囲で切り捨て関数と Kähler ポテンシャルを用い、非コンパクトな商を扱い、基本領域上で積分により不変量を計算する。
• 複素共役と双曲等長変換の下での対称性と等長性を活用し、二重被覆上の積分を関連づけ、不変性の性質を確立する。
• 調和写像の存在を応用し、最大 τ(ρ) であることと、H^n_C への ρ-等長な等距埋め込みの存在が同値であることを示す。
• 再結合的表現に対して有限エネルギーの調和写像が存在することを用い、剛性問題を対称空間上の幾何解析に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PU(m,1) の非一様格子の表現 ρ が、H^n_C への有限エネルギーの ρ-等長な調和写像をもつための条件は何か？
• RQ2 負のオイラー標数をもつ曲面群の表現における Burger-Iozzi 不変量 τ(ρ) の幾何的意味は何か？
• RQ3 τ(ρ) の最大値を特徴づけられ、それが表現が C-フックス的であることを示唆するか？
• RQ4 有限エネルギーの調和写像の存在は、ρ の像が H^n_C 内に完全測地的コピー H^m_C を安定化することを示唆するか？
• RQ5 新しい不変量 τ(ρ) は、例えば曲面群の二重被覆構成といった被覆構成においてどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意の再結合的表現 ρ について、PU(m,1) の非一様格子（m≥2）から PU(n,1) への表現に対して、H^m_C から H^n_C への有限エネルギーの ρ-等長な調和写像が存在する。
• Burger-Iozzi 不変量 τ(ρ) は Vol(Γ\H^m_C) で上から有界であり、等号が成り立つのは ρ が C-フックス的であるときかつそのときに限る。
• 負のオイラー標数をもつ曲面群に対して、不変量 τ(ρ) はオイラー標数にのみ依存する定数で上から有界であり、最大値に達するのはちょうどその表現が均一化するときである。
• 二重被覆表現の不変量 τ(2ρ) は τ(2ρ) = -2πχ(2M) を満たし、最大性が確認され、ρ-等長な等距写像の存在が示唆される。
• 調和写像の構成により、有界コホホロジー技術を用いた先行研究とは異なり、微分幾何的証明による剛性が得られた。
• 本稿は、トーロの最大不変量特徴づけを非一様格子および曲面群へ一般化し、最大性の完全な幾何的基準を確立した。