[論文レビュー] Harmonic measure for biased random walk in a supercritical Galton-Watson tree

Shen Lin|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、上位のガルトン＝ワトソン木における $\lambda$-バイアス付きランダムウォークを研究し、$\lambda$-調和測度—ランダムウォークのループ除去軌道によって定義される—が、ほとんど確実に可視性測度（$\lambda=0$ に対応）よりも厳密に大きいハウスドルフ次元を持つことを確立している。主な結果は $d_\lambda > \mathbf{GW}[\log \nu]$ を示しており、リーマン、ペマンテル、ペレスの問いを解決する。さらに、$\lambda$-調和径路に沿った子供の期待数は $m$ と $m^{-1}\sum k^2 p_k$ の間で有界であり、$0 < \lambda \leq 1$ において、バイアス付きランダムウォーク軌道よりも厳密に増加している。解析は、アデコンの手法による定常測度の構成と、ランダム木上のエルゴディック理論の応用に依拠している。

ABSTRACT

We consider random walks $λ$-biased towards the root on a Galton-Watson tree, whose offspring distribution $(p_k)_{k\geq 1}$ is non-degenerate and has finite mean $m&gt;1$. In the transient regime $0

研究の動機と目的

• 上位のガルトン＝ワトソン木における $\lambda$-調和測度の次元に関する長年の未解決問題を解明すること。
• 可視性測度（$\lambda=0$）と比較して、$\lambda$-調和測度のハウスドルフ次元が厳密に大きいことを確立すること。
• $\lambda$-調和径路に沿った子供の期待数を分析し、バイアス付きランダムウォーク軌道との比較を行うこと。
• 平均子供数の $\lambda \to 0^+$ および $\lambda \to m^-$ における単調性と漸近的挙動を調査すること。
• アデコンの手法を用いてガルトン＝ワトソン木上の調和フロー則の定常測度を明示的に構成し、エルゴディック理論を応用して次元に関する結果を導出すること。

提案手法

• アデコンの手法にインspiredされ、ガルトン＝ワトソン測度に対するRadon-Nikodým微分を用いて、木の空間上の定常かつエルゴディックな確率測度 $\mu_{\mathsf{HARM}_\lambda}$ を構成する。
• $\lambda$-調和径路を、$\lambda$-バイアス付きランダムウォークのループ除去軌道として定義し、これはほとんど確実に $\partial\mathbb{T}$ 内の一意な無限境界径路に収束する。
• 境界 $\partial\mathbb{T}$ 上の距離 $d(\xi,\eta) = \exp(-|\xi \wedge \eta|)$ を用いてハウスドルフ次元を定義し、$\lambda$-調和測度の次元を分析する。
• エルゴディック理論およびランダム木上の定常測度の理論を応用し、$\lambda \to 0^+$ および $\lambda \to m^-$ における次元 $d_\lambda$ の漸近的挙動を導出する。
• ジェンセンの不等式およびFKG不等式を用いて、$\mu_{\mathsf{HARM}_\lambda}$ およびアンネールド測度 $\mathbf{AGW}_\lambda$ における $\nu(e)$ と $1/\nu(e)$ の期待値を比較する。
• $\lambda$-調和径路に沿った子供の期待数の漸近的挙動を、$\int \nu(e) \mu_{\mathsf{HARM}_\lambda}(dT)$ の極限を調べ、$\int \nu^+(e) \mathbf{AGW}_\lambda(dT,d\xi)$ と比較することで分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $\lambda \in (0,m)$ に対して、$\lambda$-調和測度のハウスドルフ次元は可視性測度を厳密に上回るか？
• RQ2 $\lambda \to 0^+$ および $\lambda \to m^-$ のとき、ハウスドルフ次元 $d_\lambda$ の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 $0 < \lambda \leq 1$ のとき、$\lambda$-調和径路に沿った子供の期待数は、$\lambda$-バイアス付きランダムウォーク軌道に沿ったものよりも厳密に大きいのか？
• RQ4 平均子供数は $\lambda$ の関数としてどのように振る舞い、単調性を示すのか？
• RQ5 ガルトン＝ワトソン木上で、調和フロー則のための定常測度を明示的に構成可能か？ その構成により、調和測度の次元を分析できるか？

主な発見

• $\lambda$-調和測度は、ほとんど確実に可視性測度よりも厳密に大きいハウスドルフ次元を持つ：すべての $\lambda \in (0,m)$ に対して $d_\lambda > \mathbf{GW}[\log \nu]$。
• $\lambda \to 0^+$ のとき、ハウスドルフ次元 $d_\lambda$ は可視性測度の次元 $\mathbf{GW}[\log \nu]$ に収束する。
• $\lambda \to m^-$ のとき、ハウスドルフ次元 $d_\lambda$ は全境界 $\partial\mathbb{T}$ の次元 $\log m$ に収束する。
• $\lambda$-調和径路に沿った子供の期待数は、ほとんど確実に $m$ 以上、$m^{-1}\sum k^2 p_k$ 以下に有界である。
• $0 < \lambda \leq 1$ のとき、$\lambda$-調和径路に沿った子供の期待数は、$\lambda$-バイアス付きランダムウォーク軌道に沿ったものよりもほとんど確実に厳密に大きい。
• $\lambda$-バイアス付きランダムウォーク軌道に沿った平均子供数は、$B_\lambda(k)$ の非単調性により、$\lambda$ に関して単調でないことが示された。