[論文レビュー] Hasse Principle for Simply Connected Groups over Function Fields of Surfaces

Yong Hu|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有限の残渣体を持つ $p$-進表面および局所ヘンゼル的表面の関数体上で、単連結な型 $^2A_n^*$、$B_n$、$D_n^*$ の群に対してハッセの原理を証明する。ロスト不変量理論、コホロロジー的技法、ヘルミート形式に関する局所・大域原理を用いて、すべての完備化において有理点を持つ $G$- torsor は、基本体上にも有理点を持つことを確立し、コリオ・テレーヌ–パリマラ–シュレシュの予想を準擬分裂でない場合にまで拡張する。

ABSTRACT

Let $K$ be the function field of a $p$-adic curve, $G$ a semisimple simply connected group over $K$ and $X$ a $G$-torsor over $K$. A conjecture of Colliot-Thélène, Parimala and Suresh predicts that if for every discrete valuation $v$ of $K$, $X$ has a point over the completion $K_v$, then $X$ has a $K$-rational point. The main result of this paper is the proof of this conjecture for groups of some classical types. In particular, we prove the conjecture when $G$ is of one of the following types: (1) ${}^2A_n^*$, i.e. $G=\mathbf{SU}(h)$ is the special unitary group of some hermitian form $h$ over a pair $(D, τ)$, where $D$ is a central division algebra of square-free index over a quadratic extension $L$ of $K$ and $τ$ is an involution of the second kind on $D$ such that $L^τ=K$; (2) $B_n$, i.e., $G=\mathbf{Spin}(q)$ is the spinor group of quadratic form of odd dimension over $K$; (3) $D_n^*$, i.e., $G=\mathbf{Spin}(h)$ is the spinor group of a hermitian form $h$ over a quaternion $K$-algebra $D$ with an orthogonal involution. Our method actually yields a parallel local-global result over the fraction field of a 2-dimensional, henselian, excellent local domain with finite residue field, under suitable assumption on the residue characteristic.

研究の動機と目的

• 関数体が $p$-進表面および有限の残渣体を持つ局所ヘンゼル的表面である場合に、$G$- torsor に対するハッセの原理を証明すること。
• コリオ・テレーヌ–パリマラ–シュレシュのハッセの原理に関する予想を、古典的型の非準擬分裂群にまで拡張すること。
• 中心的除法代数に自己準同型を備えたヘルミート形式およびユニタリ群に関する局所・大域原理を確立すること。
• 特定の群型に対して、自然な写像 $ H^1(K, G) \to \prod_v H^1(K_v, G) $ の核が自明であることを確認すること。
• 有限の残渣体を持つ高次元局所体に適用可能なコホロロジー的道具を開発すること。

提案手法

• 特定の状況で単射性を示すロスト不変量写像を用いて、$ H^3(K, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) $ 内のコホモロジー類の自明性を検出する。
• 群 $ \mathbf{SU}(h) \to \mathbf{U}(h) \to R^1_{L/K}\mathbb{G}_m $ に関連するコホモロジー的完全列を適用し、$ H^1 $-類をヘルミート形式に関連付ける。
• モリタ理論と奇数次数の拡張によるベースチェンジを用いて、奇数の指数または分解された代数に帰着する。
• 奇数次数の拡張において、写像 $ W(D, \tau) \to W(D \otimes_L L' , \tau') $ の単射性を用いて、形式の自明性を降下する。
• 高次元クラス体論およびカトー–セイトの結果を用いて、局所条件を制御する。
• 局所的に双曲的で、判別式とロスト不変量が自明なヘルミート形式は、全体として自明であるという事実に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体が $p$-進算術的表面であるとき、$ G = \mathbf{SU}(h) $、$ \mathbf{Spin}(q) $、$ \mathbf{Spin}(h) $ に対してハッセの原理は成り立つか？
• RQ2 非準擬分裂な単連結群に対して、高次元局所体上でもハッセの原理を確立できるか？
• RQ3 すべての完備化において $G$- torsor が自明であるという条件下で、基本体上に有理点が存在するための条件は何か？
• RQ4 除法代数に自己準同型を備えたヘルミート形式の文脈において、ロスト不変量とコホモロジー的技法はどのように作用するか？
• RQ5 ハッセの原理の有効性に、残渣体の特徴が果たす役割は何か？

主な発見

• 関数体が $p$-進算術的表面および有限の残渣体を持つ局所ヘンゼル的表面であるとき、$ G = \mathbf{SU}(h) $ に対してハッセの原理が成り立つ。ただし、$ \mathrm{ind}(D) $ が平方自由であり、$ \mathrm{ind}(D) $ が偶数の場合は $ p \neq 2 $ である必要がある。
• 奇数次元の二次形式 $ q $ に対して $ G = \mathbf{Spin}(q) $ である場合、同じ体の仮定のもとでハッセの原理が証明される。
• 正規化された自己準同型を持つクaternion代数上での $ G = \mathbf{Spin}(h) $ に対して、$ p \nmid \mathrm{ind}(D) $ かつ残渣体の特徴が 2 でない場合、ハッセの原理が成り立つ。
• すべての離散付値において局所的に自明な $G$- torsor のロスト不変量は自明であり、これは指定された群型に対して全体としての自明性を示唆する。
• 偶数ランク、自明な判別式、自明なロスト不変量を持つ局所的に双曲的ヘルミート形式は、$ (D, \tau) $ 上で全体として双曲的であり、対応するコホモロジー類が自明である。
• 指定された群型に対して、自然な写像 $ H^1(K, \mathbf{SU}(h)) \to \prod_v H^1(K_v, \mathbf{SU}(h)) $ の核は自明であり、ハッセの原理が確認される。