[論文レビュー] Hausdorff continuous solutions of arbitrary continuous nonlinear PDEs through the order completion method

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|May 28, 2004

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、滑らかな関数空間の順序完備化を用いて、任意の連続非線形偏微分方程式（PDE）を解くための新規な手法を提示している。この手法により、従来の可測関数解よりも顕著に高い正則性を持つハウスドルフ連続関数としての解が得られる。本手法は関数解析、ディラック関数、一般化関数を一切用いず、非線形PDEの広範なクラス、特に系や初期値／境界値問題に対し、存在性と正則性の結果を提供する。

ABSTRACT

In 1994 we showed that very large classes of systems of nonlinear PDEs have solutions which can be assimilated with usual measurable functions on the Euclidean domains of definition of the respective equations. Recently, the regularity of such solutions has significantly been improved by showing that they can in fact be assimilated with Hausdorff continuous functions. The method of solution of PDEs is based on the Dedekind order completion of spaces of smooth functions which are defined on the domains of the given equations. In this way, the method does not use functional analytic approaches, or any of the customary distributions, hyperfunctions, or other generalized functions.

研究の動機と目的

• 任意の連続非線形PDEの一般解理論を、関数解析や一般化関数に依存せずに確立すること。
• 解の正則性を可測関数から、より強く構造的であるハウスドルフ連続関数へ向上させること。
• 順序完備化法を、最小限の構造的仮定のもとで非線形PDEの系および初期／境界値問題に拡張すること。
• 1957年のハンス・レヴィーの不可能性結果を、広範な非線形PDEのクラスに対して解を構成することで克服すること。
• ハウスドルフ連続関数が、任意の稠密部分集合における値によって一意に決定されることを示し、解の再構築の堅牢性を実現すること。

提案手法

• 開領域 Ω ⊆ ℝⁿ に定義された滑らかな関数空間のデデキンド順序完備化を利用する。
• 順序完備化内のコーシー列の同値類として解を構成し、関数解析的道具を一切用いずに存在性を保証する。
• 滑らかでない解をモデル化するため、値が拡張実数における閉区間である区間値関数 F: Ω → ℝ̅ を導入する。
• s-連続性と最小性条件（g ≤ f が稠密集合上で点ごとの大小関係を満たすならば g ≡ f）を用いてハウスドルフ連続性を定義する。
• F が連続または閉集合 Σ（無重点集合）を除いて連続であるような形のPDE系 F(x, U, D^pU) = f(x) にこの手法を適用する。
• F の不連続性を、Σ が任意の正のルベーグ測度をもつように許容することで、解の存在性を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布や関数解析を用いずに、任意の連続非線形PDEに対して一般解法を開発することは可能か？
• RQ2 順序完備化による解の正則性は、可測関数を越えて向上させられるか？
• RQ3 F が閉集合で nowhere dense な集合上で不連続であっても、ハウスドルフ連続解を構成することは可能か？
• RQ4 ハウスドルフ連続性における最小性条件が、解の一意性と堅牢性をどのように保証するか？
• RQ5 順序完備化法は、PDEの系および初期／境界値問題へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 任意の連続非線形PDEの解は存在し、可測関数よりも厳密に小さいがより正則性の高いハウスドルフ連続関数と同一視可能である。
• 本手法は、標準的な一般化関数理論や関数解析的枠組みを一切避けており、純粋に順序論的解法を提供する。
• 1957年のハンス・レヴィーの不可能性結果は、従来古典的手法では解けないと考えられていた広範なPDEのクラスに対しても、大きな余裕で克服されている。
• ハウスドルフ連続関数は、第一ベールカテゴリの集合（任意の正のルベーグ測度をもつ）で不連続であっても、任意の稠密部分集合における値によって一意に決定される。
• 本手法は、非線形PDEの系および初期／境界値問題へ自然に拡張可能であり、存在性と正則性の保証を維持する。
• 具体的な例として、非粘性バーガース方程式のショック波解がハウスドルフ連続であることが示され、理論的枠組みの妥当性が裏付けられた。