[論文レビュー] Hausdorff dimension of univoque sets and Devil's staircase

Vilmos Komornik, Derong Kong+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、アルファベット $ \{0,1,\ldots,M\} $ を用いた非整数基数の展開において、一意に展開可能な実数の集合 $ \mathcal{U}_q $ のハウスドルフ次元 $ D(q) $ について、完全な公式を確立する。すべての $ q > 1 $ に対して $ D(q) = h(\mathcal{U}_q') / \log q $ が成り立つことを証明し、ここで $ h(\mathcal{U}_q') $ は対応する展開集合の位相的エントロピーを表す。次元関数 $ D(q) $ は連続的で、有界 Variation を持ち、$ (q',\infty) $ 上でデーモンの階段（Devil's staircase）的挙動を示す。$ D(q) > D(q') $ である一方で、ほとんど everywhere で $ D'(q) < 0 $ である。ここで $ q' $ は Komornik–Loreti 定数である。

ABSTRACT

We fix a positive integer $M$, and we consider expansions in arbitrary real bases $q&gt;1$ over the alphabet $\{0,1,...,M\}$. We denote by $U_q$ the set of real numbers having a unique expansion. Completing many former investigations, we give a formula for the Hausdorff dimension $D(q)$ of $U_q$ for each $q\in (1,\infty)$. Furthermore, we prove that the dimension function $D:(1,\infty) o[0,1]$ is continuous, and has a bounded variation. Moreover, it has a Devil's staircase behavior in $(q',\infty)$, where $q'$ denotes the Komornik--Loreti constant: although $D(q)&gt;D(q')$ for all $q&gt;q'$, we have $D'&lt;0$ a.e. in $(q',\infty)$. During the proofs we improve and generalize a theorem of Erdős et al. on the existence of large blocks of zeros in $β$-expansions, and we determine for all $M$ the Lebesgue measure and the Hausdorff dimension of the set of bases in which $x=1$ has a unique expansion.

研究の動機と目的

• すべての $ q > 1 $ に対して、非整数基数展開における一意展開集合の正確なハウスドルフ次元 $ D(q) = \dim_H \mathcal{U}_q $ を決定し、先行研究を完成させること。
• 次元関数 $ D(q) $ が連続的かつ有界 Variation を持つことを証明し、その正則性に関する未解決問題を解決すること。
• Komornik–Loreti 定数 $ q' $ を用いて $ (q',\infty) $ 上で $ D(q) $ がデーモンの階段的挙動を示すことを確立すること。これは、$ D(q) > D(q') $ である一方で、ほとんど everywhere で $ D'(q) < 0 $ であるという事実を伴う。
• Erdős らの $ \beta $-展開におけるゼロブロックに関する結果を、任意の $ M \geq 1 $ に一般化し、強化すること。
• 一意展開可能基数の集合 $ \mathcal{U} $ のLebesgue測度とハウスドルフ次元を計算し、両者ともにそれぞれ 0 と 1 であることを示すこと。

提案手法

• ハウスドルフ次元 $ \mathcal{U}_q $ に対して一般公式 $ D(q) = h(\mathcal{U}_q') / \log q $ を導出する。これは $ \mathcal{U}_q' $ がサブシフトでない場合にも成立する。
• 位相的エントロピー $ h(\mathcal{U}_q') = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log |B_n(\mathcal{U}_q')| $ を用いて $ D(q) $ を表現する主要な道具として用いる。
• $ n_k > \log_s(n_1 + \cdots + n_k) $ かつ $ \sum s^{-n_k} = \infty $ を満たす適切に選ばれた列 $ (n_k) $ を用いて、$ \beta(q) $ におけるゼロブロックの周波数を分析する、洗練されたボレル＝カンテーリー補題の応用。
• $ \beta(q) $、すなわち $ x=1 $ のグリーディ展開を用いて、一意展開可能基数の辞書的特徴付けを活用し、$ \mathcal{U} $ を $ \beta(q) $ の構造と関連付ける。
• $ \beta(q) $-展開ブロックにおける区間分割と測度推定を用いて、$ D(q) $ の連続性と有界 Variation を証明する。
• $ p > q' $ に対して $ h(\mathcal{U}_p') > 0 $ であり、$ D(q) = h(\mathcal{U}_p') / \log q $ が $ q $ に関して厳密に減少することを示すことにより、$ (q',\infty) $ 上で $ D'(q) < 0 $ が almost everywhere に成り立つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ q > 1 $ に対して、一意 $ q $-展開を持つ数の集合 $ \mathcal{U}_q $ のハウスドルフ次元 $ D(q) $ の正確な公式は何か？
• RQ2 次元関数 $ D(q) $ は $ (1,\infty) $ 上で連続的かつ有界 Variation を持つか？
• RQ3 $ D(q) $ は $ (q',\infty) $ 上でデーモンの階段的挙動を示すか？ すなわち、$ D(q) > D(q') $ である一方で、$ D'(q) < 0 $ が almost everywhere に成り立つか？
• RQ4 Erdős らの $ \beta $-展開におけるゼロブロックに関する結果は、任意の $ M \geq 1 $ に一般化可能か？
• RQ5 $ \mathcal{U} $ である一意展開可能基数の集合のLebesgue測度とハウスドルフ次元は何か？

主な発見

• 公式 $ D(q) = h(\mathcal{U}_q') / \log q $ は、$ \mathcal{U}_q' $ がサブシフトでない場合でさえすべての $ q > 1 $ に対して成り立つ。これは、重要な未解決問題を解決する。
• 次元関数 $ D(q) $ は $ (1,\infty) $ 上で連続的であり、有界 Variation を持つ。これは、ほとんど everywhere で微分可能であることを示唆する。
• $ (q',\infty) $ 上で、$ D(q) $ はデーモンの階段的挙動を示す：すべての $ q > q' $ に対して $ D(q) > D(q') $ であるが、ほとんど everywhere で $ D'(q) < 0 $ である。
• 一意展開可能基数の集合 $ \mathcal{U} $ はLebesgue測度が 0 で、ハウスドルフ次元が 1 である。これは $ M=1 $ の場合の先行結果を拡張する。
• 本稿は、Erdős らの $ \beta $-展開におけるゼロブロックに関する結果を一般化・強化し、任意の $ q \in (1,r) $ に対して、$ \beta(q) $ が任意に大きな $ m $ に対して長さ $ \log_r m $ を超える任意の長さのゼロブロックを含むことを証明した。
• $ D'(q) < 0 $ は、$ (q',\infty) \setminus \overline{\mathcal{U}} $ に含まれる各連結成分 $ (q_0, q_0^*) $ 全体で成り立つ。なぜなら、$ p > q' $ に対して $ D(q) = h(\mathcal{U}_p') / \log q $ が $ q $ に関して厳密に減少するからである。