[論文レビュー] Height and contour processes of Crump-Mode-Jagers forests (I): general distribution and scaling limits in the case of short edges

Emmanuel Schertzer, Florian Simatos|Open Archive Toulouse Archive Ouverte (University of Toulouse)|Jun 10, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Crump-Mode-Jagers (CMJ) 樹木の高さ過程とそのルカシエヴィチ路のラダー高さ過程との間の一般な分布的関係を確立する。短い辺の仮定の下で、高さ過程がガロン＝ワトソンの高さ過程に線形にスケーリングされること、輪郭過程が定数時間変換によって生じること、およびCMJ 樹木が有限次元分布の意味で極限過程に収束することを証明する。

ABSTRACT

Crump-Mode-Jagers (CMJ) trees generalize Galton-Watson trees by allowing individuals to live for an arbitrary duration and give birth at arbitrary times during their life-time. In this paper, we are interested in the height and contour processes encoding a general CMJ tree. We show that the one-dimensional distribution of the height process can be expressed in terms of a random transformation of the ladder height process associated with the underlying Lukasiewicz path. As an application of this result, when edges of the tree are "short" we show that, asymptotically, (1) the height process is obtained by stretching by a constant factor the height process of the associated genealogical Galton-Watson tree, (2) the contour process is obtained from the height process by a constant time change and (3) the CMJ trees converge in the sense of finite-dimensional distributions.

研究の動機と目的

• 一般のCMJ 樹木における高さ過程の1次元分布を、そのルカシエヴィチ路のラダー高さ過程の確率的変換を用いて特徴付けること。
• 辺の長さが木のサイズに比べて短い場合のCMJ 樹木における高さ過程および輪郭過程の漸近的挙動を調査すること。
• 有限次元分布の意味でCMJ 樹木が極限過程に関数的収束することを確立すること。
• 短い辺の仮定の下で、古典的なガロン＝ワトソン木からのスケーリング極限結果をより一般的なCMJ フレームワークへと拡張すること。
• 有限分散および無限分散の両方の子孫分布における高さ過程および輪郭過程のスケーリング極限行動を統一すること。

提案手法

• CMJ 樹木のルカシエヴィチ路に関連するラダー高さ過程の確率的変換を用いて、高さ過程の分布を導出する。
• スパイン分解およびCMJ 樹木を連続時間マルコフ分岐過程に埋め込む手法を用いて、経路構造を分析する。
• 弱収束技術を適用し、正規化された高さ過程が関連するガロン＝ワトソン木の高さ過程の定数倍に弱収束することを示す。
• 関数的極限定理を活用して、高さ過程に定数時間変換を施すことで輪郭過程の収束を確立する。
• 短い辺の仮定下での収束を制御するため、再生過程および再生測度を用いたタイトネスの議論とカップリング技法を用いる。
• 基礎となるレヴィ過程および関連再生過程の収束を用いて、算術的および非算術的両ケースにおけるスケーリング極限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のCMJ 樹木の高さ過程は、そのルカシエヴィチ路のラダー高さ過程のどのような形で表現できるか？
• RQ2 辺の長さが短い場合のCMJ 樹木における高さ過程および輪郭過程の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 CMJ 樹木が有限次元分布の意味で極限過程に収束するための条件は何か？
• RQ4 高さ過程および輪郭過程のスケーリング極限は、関連するガロン＝ワトソン過程のそれらとどのように関係するか？
• RQ5 辺長分布の算術的または非算術的性質は、高さ過程および輪郭過程の収束にどのような役割を果たすか？

主な発見

• CMJ 樹木における高さ過程の1次元分布は、基礎となるルカシエヴィチ路のラダー高さ過程の確率的変換に分布する。
• 辺が短い場合、CMJ 樹木の正規化された高さ過程は、関連するガロン＝ワトソン木の高さ過程の定数倍に弱収束する。
• CMJ 樹木の正規化された輪郭過程は、同じ極限過程に弱収束するが、定数時間変換が施されている。
• 臨界的状況で分散が有限の場合、高さ過程および輪郭過程は、$ \frac{2}{\sigma} $ でスケーリングされた反射ブラウン運動に収束する。ここで $ \sigma $ は子孫分布の分散である。
• 子孫分布が $ \alpha $-安定分布（$ \alpha \in (1,2) $）の吸引域に属し、分散が無限大である場合、スケーリング極限は、特異的に正のレヴィ過程の関数的表現となる。
• 短い辺の仮定下で、有限次元分布のタイトネスが確立され、算術的および非算術的両ケースにおいてカップリングおよび再生理論の議論により収束が証明されている。