[論文レビュー] Height process for super-critical continuous state branching process

Jean‐François Delmas|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、a→∞のとき[0,a]上の正のドリフトを伴う反射ブラウン運動の射影極限として、二次的分岐機構を有する超臨界的連続状態ブランンチング過程（CSBP）の高さ過程を構成することにより、超臨界的連続状態ブランンチング過程（CSBP）の高さ過程を導入する。この研究では、剪定とサイズバイアズド移住の双対性を確立し、ラ・キング・ theorem を超臨界的な場合に拡張し、高さ過程の局所時刻が超臨界的なCSBPに従って時間発展することを証明する。

ABSTRACT

We define the height process for super-critical continuous state branching processes with quadratic branching mechanism. It appears as a projective limit of Brownian motions with positive drift reflected at 0 and a>0 as a goes to infinity. Then we extend the pruning procedure of branching processes to the super-critical case. This give a complete duality picture between pruning and size proportional immigration for quadratic continuous state branching processes.

研究の動機と目的

• 超臨界的連続状態ブランンチング過程（CSBP）における二次的分岐機構に対して、臨界および亜臨界的な場合を越えて遺伝的コード化を拡張する高さ過程を定義すること。
• 超臨界的な場合に、局所時刻の0への到達時間が無限である可能性があるという問題を、レベルaに有限の上側吸収バリアを導入することによって解決すること。
• a>0に対して[0,a]上での一貫した高さ過程の族を構成し、a→∞のときの射影極限をとることで、超臨界的CSBPの普遍的な高さ過程を定義すること。
• 二次的CSBPにおける剪定（部分木の除去）とサイズバイアズド移住の双対性を確立し、臨界的状況におけるラ・キングの定理を超臨界的な領域に一般化すること。

提案手法

• a>0に対して、0およびaで反射するドリフト-2θのブラウン運動として、高さ過程H^θ,aを定義する。
• b < a に対して、局所時刻の下位bにおける時間変換逆写像を用いる投影写像π_{a,b}を介して、C^aからC^bへのパスの写像により、一貫した過程の族を構築する。
• 反射拡散過程のマルコフ性および強マルコフ性を用いて、族(H^θ,a, a>0)の一貫性を証明する。
• a≥0に対して、C([0,∞), [0,∞))値をとる右連続で左極限をもつ過程として、射影極限H^θ = (H^θ,a, a≥0)を構成し、必要な有限次元分布を満たすことを示す。
• テスト関数gを用いた下確率的問題の手法を用いて、極限過程の分布を特徴づけ、それがドリフト-2(θ+γ)を伴う反射拡散過程のSDEを満たすことを示す。
• 高さ過程のレベルrにおける局所時刻が、レベル0への到達時間T^θ = inf{t>0 : L^θ_0(t) = x}までに、分岐機構ψ_θ(u) = 2u² + 4θuを有する超臨界的CSBPに従うことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限の絶滅時間の可能性があるにもかかわらず、二次的分岐機構を有する超臨界的連続状態ブランンチング過程（CSBP）に対して、高さ過程を定義することは可能か？
• RQ2 過程がほとんど確実に絶滅しない場合、超臨界的CSBPの遺伝的構造は、高さ過程を用いてどのように符号化できるか？
• RQ3 上側吸収バリアa→∞のとき、高さ過程の極限的挙動は何か？ また、一貫した射影極限をもたらすか？
• RQ4 臨界的状況における双対性と類似する、剪定操作と移住の間の双対性が、超臨界的な場合にも成立するか？
• RQ5 高さ過程のレベルrにおける局所時刻は、同じ分岐機構を有する超臨界的CSBPに従って時間発展するか？

主な発見

• 超臨界的CSBPの高さ過程H^θは、a→∞のとき[0,a]上でのドリフト-2θの反射ブラウン運動の射影極限として定義される。
• 射影写像π_{a,b}に関して、族(H^θ,a, a>0)は一貫しており、射影極限H^θの存在を保証する。
• レベルrにおける局所時刻プロセスL^θ(r, T^θ) は、分岐機構ψ_θ(u) = 2u² + 4θuを有する超臨具体的CSBPに従う。
• 二次的CSBPにおいて、剪定とサイズバイアズド移住の双対性が成立する：木の剪定は双対過程における移住成分の追加に対応する。
• 極限過程H^θは、ドリフト-2θおよび0と∞での反射を伴うブラウン運動のSDEを満たし、その局所時刻構造はCSBPのダイナミクスを回復する。
• 証明は下確率的問題の特徴づけに依拠しており、局所時刻プロセスが超臨具体的CSBPの生成作用素を満たすことを示し、双対性を確認する。