[論文レビュー] Heights in Finite Projective Space, and a Problem on Directed Graphs

Melvyn B. Nathanson, Blair D. Sullivan|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2007

Graph theory and applications参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、𝔽ₚ 上の有限射影空間内の点に新しい高さ関数を導入し、次元 d=2 における高さの明示的公式および境界を確立する。これらの結果を、有向ケイリー代数的グラフにおけるサイクル除去のための最小エッジ削除数を評価することに応用し、β(G) ≤ hₚ(⟨a₁,…,aₙ⟩) ≤ dp/2 を示し、三角形を含まないグラフにおいてもこの境界が成り立つことを検証する。これにより、𝔽ₚ 上での Caccetta-Haggkvist 予想が支持される。

ABSTRACT

Let $\F_p = \Z/p\Z$. The \emph{height} of a point $\mathbf{a}=(a_1,..., a_d) \in \F_p^d$ is $h_p(\mathbf{a}) = \min \left\{\sum_{i=1}^d (ka_i \mod p) : k=1,...,p-1 ight\}.$ Explicit formulas and estimates are obtained for the values of the height function in the case $d=2,$ and these results are applied to the problem of determining the minimum number of edges the must be deleted from a finite directed graph so that the resulting subgraph is acyclic.

研究の動機と目的

• 𝔽ₚ 上の有限射影空間内の点に高さ関数を定義・分析すること。
• d=2 の場合における高さ関数の明示的公式および境界を導出すること。
• 高さ理論を、有向グラフを無サイクルにするために必要なエッジ削除数を最小化する問題に応用すること。
• 𝔽ₚ 上のケイリー代数的グラフにおける最小エッジ削除数の境界を提示し、Caccetta-Haggkvist 予想を支持すること。

提案手法

• 点 ⟨a₁,…,aₙ⟩ ∈ ℙ^{d−1}(𝔽ₚ) の高さを hp(𝐚) = minₖ₌₁^{p−1} ∑ᵢ (kaᵢ mod p) として定義する。
• 平均化を用いて上界を確立する：hp(𝐚) ≤ ⌊d*𝐩/2⌋ ここで d* は非ゼロ成分の数である。
• ℤ/pℤ 上の置換に基づく構成を用い、巡回シフトにおける σ(k) + aⱼ < σ(k) を満たす添え字に対応するエッジを削除することで、無サイクル部分グラフを定義する。
• 部分集合 A ⊆ 𝔽ₚ^* から生成されるケイリー代数的グラフ G = (𝔽ₚ, E_A) を構築し、β(G)（最小エッジ削除数）を高さ関数 hp(⟨a₁,…,aₙ⟩) と関連付ける。
• 置換によって誘導される順序を用いて、β(G) ≤ minₖ₌₁^{p−1} ∑ⱼ (kaⱼ mod p) = hp(⟨a₁,…,aₙ⟩) を証明する。
• この境界を、𝔽ₚ 上の三角形を含まないケイリー代数的グラフに適用し、p ≥ 7 のとき β(G) ≤ (p−1)/2 ≤ γ(G)/2 が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d=2 の場合、ℙ¹(𝔽ₚ) における高さ関数 hp(𝐚) の正確な値および境界は何か？
• RQ2 高さ関数 hp(𝐚) は、有向ケイリー代数的グラフを無サイクルにするために削除すべき最小エッジ数とどのように関係するか？
• RQ3 高さ関数を用いて、加法群 𝔽ₚ 上のケイリー代数的グラフについて Caccetta-Haggkvist 予想を証明または支持できるか？
• RQ4 ℙ^{d−1}(𝔽ₚ) 内の点の最大高さは何か？ これは d および p にどのように依存するか？
• RQ5 a ∈ 𝔽ₚ^* に対して、hp(⟨1,a⟩) が最小または最大となるのはどのような値か？ その正確な値は何か？

主な発見

• d=2 かつ a ∈ 𝔽ₚ^* のとき、高さ hp(⟨1,a⟩) は hp(⟨1,a⟩) ≤ 1 + (a mod p) を満たし、a mod p < √p のとき等号が成り立つ。
• 高さ hp(⟨1,a⟩) が 2 に等しいことは a ≡ 1 mod p に、3 に等しいことは a ≡ 2 または (p+1)/2 mod p にそれぞれ同値である。
• ℙ^{d−1}(𝔽ₚ) 内の最大高さは、d が偶数のとき dp/2 であり、d が奇数のときは (d−1)p/2 + 1 から (dp−1)/2 の間にある。
• 任意の部分集合 A = {a₁,…,aₙ} ⊆ 𝔽ₚ^* に対して、ケイリー代数的グラフを無サイクルにするために削除すべき最小エッジ数 β(G) は、β(G) ≤ hp(⟨a₁,…,aₙ⟩) ≤ dp/2 を満たす。
• p ≥ 7 の三角形を含まないケイリー代数的グラフにおいて、β(G) ≤ (p−1)/2 が成り立ち、これはグラフのエッジ数の半分以下である。
• 境界 β(G) ≤ hp(⟨a₁,…,aₙ⟩) はタイトであり、無サイクル部分グラフを誘導する置換に基づくエッジ削除戦略によって導出される。