[論文レビュー] Hermite-Hadamard type inequalities for functions whose derivatives are (α,m)-convex

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 5被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、絶対値が(α,m)-凸である導関数をもつ関数に対する新しいヘルメート・ハダマール型不等式を、積分恒等式とホルダーの不等式を用いて確立する。主な貢献は、関数の端点における値の平均と積分平均との乖離の鋭い上界を、|f′|qおよびパラメータα、m、qの形で表現することである。応用として、正の実数の特殊平均への応用が示される。

ABSTRACT

In this paper several inequalities of the right-hand side of Hermite-Hadamard inequality are obtained for the class of functions whose derivatives in absolutely value at certain powers are (α,m)-convex.Some applications to special means of positive real numbers are also given.

研究の動機と目的

• 導関数の絶対値が(α,m)-凸である関数に対するヘルメート・ハダマール型不等式を拡張すること。
• 古典的凸性と比較して、このような関数の積分平均に対するより鋭い誤差上界を導出すること。
• パラメータ化された不等式を用いて、m-凸関数およびα-凸関数に関する既存の結果を一般化すること。
• 導出された不等式を、算術平均や調和平均を含む正の実数の特殊平均の推定に応用すること。
• パラメータαとmを用いたパラメータ化された枠組みにより、凸性クラスに関する以前の結果を統一的かつ拡張すること。

提案手法

• 部分積分を用いて、f(a)とf(b)の重み付き平均と[a,b]上でのfの積分との間に成り立つ一般積分恒等式を導出する。
• 導出された恒等式にホルダーの積分不等式を適用し、導関数のノルムを制御するためのパラメータλ、μ、α、m、qを導入する。
• |f′|qにおける(α,m)-凸性条件を用いて、得られた積分をバインドし、明示的な上界を得る。
• 異なるパラメータ領域に対応する閉形式での上界を表すために、補助的定数ν₁、ν₂、γ₁、γ₂、γ₃、γ₄を導入する。
• f(x) = xⁿおよびf(x) = 1/xといった特定関数に主不等式を適用し、平均の明示的上界を導出する。
• コロナリーおよび命題を用いて、一般不等式を既知の平均（算術平均、調和平均、対数平均）に特殊化し、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導関数の絶対値が(α,m)-凸である関数に対して、ヘルメート・ハダマール型不等式をどのように拡張できるか？
• RQ2 |f′|qが(α,m)-凸である条件下で、積分平均と端点値の平均との差の最適な上界は何か？
• RQ3 パラメータαとmは、既存の凸関数およびm-凸関数の不等式をどのように精緻化するか？
• RQ4 導出された不等式を、正の実数の特殊平均の推定に応用できるか？
• RQ5 f′(a)、f′(b)、f′(a/m)、f′(b/m)およびパラメータα、m、qの関数として、誤差上界の明示的表現は何か？

主な発見

• |f′|qが(α,m)-凸であるとき、|(f(a)+f(b))/2 − 1/(b−a)∫ₐᵇ f(x)dx| の鋭い上界が、(b−a)/2 × (1/2)^{1−1/q} × min{(...)}^{1/q} として与えられ、ν₁、ν₂はαとmに依存する明示的表現を持つ。
• f(x) = xⁿ（|n| ≥ 2）に対して、不等式はλ、μ、p、qおよび|n|a^{(n−1)q}、b^{(n−1)q}のべき平均を含む上界を導出し、べき平均への適用可能性を示す。
• f(x) = 1/xの場合、不等式は調和平均と対数平均の差に対する新しい上界を、γ₁、γ₂、γ₃、γ₄およびqを用いて表現する。
• 導出された上界は、m-凸関数およびα-凸関数に関する以前の結果を一般化・精緻化し、α=1またはm=1のとき既知の不等式が特殊ケースとして回復される。
• 結果は、A_r(a,b)、H_r(a,b)、L_r(a,b)といった特殊平均の推定に応用され、α、m、qに依存する明示的誤差項が得られる。
• この枠組みにより、λとμを用いた重み付けの最適化が可能となり、誤差上界に対するパラメータ制御が可能になる。