[論文レビュー] Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically (α,m)-convex functions

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、調和的凸関数および(α,m)-凸関数を一般化する新しいクラスである調和的(α,m)-凸関数を導入し、これらの関数に対する新しいヘルメート＝ハダマール型積分不等式を確立する。超幾何関数を用いた積分恒等式とべき平均不等式を用いて、関数値の平均と重み付き積分平均との差に対する鋭い上限を導出し、古典的結果をより広い関数クラスへと拡張する。特殊平均への応用を含む。

ABSTRACT

The author introduces the concept of harmonically (α,m)-convex functions and establishes some Hermite-Hadamard type inequalities of these classes of functions.

研究の動機と目的

• 調和的凸関数および(α,m)-凸関数を一般化する新しいクラス、調和的(α,m)-凸関数を導入・定義すること。
• 調和的(α,m)-凸関数に対して鋭いヘルメート＝ハダマール型積分不等式を確立すること。
• パrameter α ∈ [0,1] および m ∈ (0,1] を組み込むことで、古典的積分不等式を拡張し、より広範な適用可能性を実現すること。
• 超幾何関数を用いて、導関数のpノルムおよびqノルムを含む境界を導出すること。
• 不等式を算術平均、幾何平均、対数平均などの特殊平均への応用を示すこと。

提案手法

• 関数 f が次の不等式を満たすものとして調和的(α,m)-凸関数を定義する：f(mxy/(mty + (1−t)x)) ≤ t^α f(x) + m(1−t^α)f(y)（x,y ∈ (0,b*], t ∈ [0,1]）。
• 平均と積分平均との差を表す積分恒等式を用いる：ab(b−a)/2 ∫₀¹ (1−2t)/(tb + (1−t)a)² f’(ab/(tb + (1−t)a)) dt。
• 共役指数 p と q を用いたホルダーの不等式を適用し、導関数項のL1ノルムを評価する。
• t^α および (tb + (1−t)a)^{-2q} を含む積分を、超幾何関数 _2F_1 およびベータ関数 β(1, α+1) を用いて評価する。
• ν(α,q;a,b) および ν(0,q;a,b)−ν(α,q;a,b) の明示的表現を、α, q, a, b に依存する積分として導出する。
• 得られた境界を用いて、超幾何関数を含む係数を伴う |f’(a)|^q および |f’(b/m)|^q に関する不等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和的凸性の概念を α および m の両パラメータを含む形に一般化する方法は何か？その積分不等式への影響は何か？
• RQ2 調和的(α,m)-凸関数に対して、f(a) と f(b) の算術平均と重み付き積分平均 ∫_a^b f(x)/x² dx の差に対する鋭い境界は何か？
• RQ3 α = m = 1 または m = 1 かつ α = 1 の場合、新しい不等式はどのように既知の結果（例えばヘルメート＝ハダマール型またはハダマール型不等式）に還元されるか？
• RQ4 超幾何関数は積分剰余項の境界を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 導出された不等式を用いて、p対数平均や幾何平均などの特殊平均に対する新しい推定値を導出できるか？

主な発見

• 本稿では、調和的(α,m)-凸関数に対して新しいヘルメート＝ハダマール型不等式を確立した：f(2ab/(a+b)) ≤ (ab/(b−a))∫_a^b f(x)/x² dx ≤ (f(a)+f(b))/2。
• f が |f’|^q に関して調和的(α,m)-凸であると仮定すると、鋭い境界が得られる：| (f(a)+f(b))/2 − (ab/(b−a))∫_a^b f(x)/x² dx | ≤ (ab(b−a)/2)(1/(p+1))^{1/p} × [ν(α,q;a,b)|f’(a)|^q + m(ν(0,q;a,b)−ν(α,q;a,b))|f’(b/m)|^q]^{1/q}。
• 積分 ν(α,q;a,b) および ν(0,q;a,b)−ν(α,q;a,b) は、超幾何関数 _2F_1 およびベータ関数を用いて明示的に表現される。
• α = m = 1 の場合、主な不等式は [7] の定理3に還元され、調和的凸関数に関する既存の結果と整合性が確認される。
• 不等式は特殊平均に対しても新しい推定値をもたらす。例えば、|A(a^{α/q+1},b^{α/q+1}) − G²L_{α/q−1}^{α/q−1}| ≤ (ab(b−a)(α+q)/(2q))(1/(p+1))^{1/p} × [ν(α,q;a,b)a^α + (ν(0,q;a,b)−ν(α,q;a,b))b^α]^{1/q} が成り立つ。
• 境界は鋭く、特定の f およびパrameter α, m, q の条件下で等号が成立する。