[論文レビュー] Hermite spectral collocation methods for fractional PDEs in unbounded domains

Tao Tang, Huifang Yuan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2018

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、二種類の基底関数、すなわち過剰にスケーリングされたエルミート関数 $e^{-x^2}H_n(x)$ と正規化されたエルミート関数 $e^{-x^2/2}H_n(x)$ を用いて、非有界領域における分数階偏微分方程式を解くためのエルミートスペクトルコロケーション法を提案する。再帰関係を用いて明示的な微分行列を導出し、指数的減衰を示す解に対してスペクトル収束を示し、適応的スケーリング因子によって精度を向上させる。

ABSTRACT

This work is concerned with spectral collocation methods for fractional PDEs in unbounded domains. The method consists of expanding the solution with proper global basis functions and imposing collocation conditions on the Gauss-Hermite points. In this work, two Hermite-type functions are employed to serve as basis functions. Our main task is to find corresponding differentiation matrices which are computed recursively. Two important issues relevant to condition numbers and scaling factors will be discussed. Applications of the spectral collocation methods to multi-term fractional PDEs are also presented. Several numerical examples are carried out to demonstrate the effectiveness of the proposed methods.

研究の動機と目的

• 既存の手法に限界がある非有界領域における分数階偏微分方程式に対して、効率的なスペクトルコロケーション法を開発すること。
• 非有界空間領域における解の減衰率の違いに対処する課題に取り組むこと。
• エルミートに基づくスペクトル法のための明示的微分行列を構築し、計算を効率化すること。
• スケーリング因子がスペクトル離散化における収束速度と条件数に与える影響を調査すること。
• ニュートン反復を用いて、多項式分数階ラプラシアン方程式および非線形問題への応用を拡張すること。

提案手法

• 本手法は、非有界領域におけるスペクトル近似のためのグローバル基底関数として、エルミート関数 $e^{-x^2}H_n(x)$ と $e^{-x^2/2}H_n(x)$ を用いる。
• ガウス・エルミート点におけるコロケーションを適用し、弱形式で分数階偏微分方程式を弱く強制する。
• 再帰関係を用いて明示的な微分行列を再帰的に導出し、効率的な行列-ベクトル演算を可能にする。
• 解の減衰率に一致させるために、基底関数にスケーリング因子 $r$ を導入し、収束性を向上させる。
• ニュートン反復を用いて、多項式分数階ラプラシアン方程式および非線形分数階偏微分方程式へと拡張する。
• 比較のため、ラグランジュ型基底関数を用いた同等のコロケーションスキームについても議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてエルミート関数を用いたスペクトルコロケーション法を、非有界領域における分数階偏微分方程式に適応させることができるか？
• RQ2 非標準的な減衰率を示す解に対して、収束性を向上させるスケーリング因子の役割は何か？
• RQ3 次数が増加するに従って、得られる微分行列の条件数はどのように変化するか？
• RQ4 非有界領域におけるエルミートに基づくスペクトル法に対して、明示的微分行列を再帰的に導出できるか？
• RQ5 本手法は、$\mathbb{R}^d$ における非線形および多項式分数階偏微分方程式に対してどれほど有効か？

主な発見

• 数値例により、指数的減衰を示す解に対して、本手法がスペクトル収束を達成していることが示された。誤差の急速な減少が観察された。
• 多項式分数階ラプラシアン問題において、スケーリング因子 $r = \sqrt{1.5}$ を選択することで、重み付きノルムおよび最大ノルムの両方で最も速い収束が達成された。
• 正規化されたエルミート関数基底（$e^{-x^2/2}H_n(x)$）は、非線形分数階偏微分方程式 $(-\Delta)^{\alpha/2}u + u^2 = g$ においてスペクトル収束を達成した。
• $(-\Delta)^{\alpha/2} + x^2$ の固有値問題では、固有値の代数的減衰と整合的であり、誤差も代数的減衰を示した。
• 過剰にスケーリングされた基底（$e^{-x^2}H_n(x)$）は、$N$ が増加するに従い、急速に増大する条件数を示しており、大規模問題ではプリコンディショニングの必要性が示唆された。
• 明示的微分行列を備えた本手法は、周波数空間コロケーションに比べ、直接性と非線形問題への適用可能性において優れている。