[論文レビュー] Hermitian Self-Dual Cyclic Codes of Length $p^a$ over $GR(p^2,s)$

Somphong Jitman, San Ling+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、離散フーリエ変換の分解と既知の巡回符号に関する結果を活用して、ガロア環 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上の長さ $p^a$ のヘルミート自己双対巡回符号を特徴付け、列挙する。主な貢献は、このような符号の完全な列挙であり、これにより $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上の任意の長さのエウラーデス自己双対巡回符号の特徴付けと数え上げが可能となり、$\mathbb{Z}_4$-ベースの符号に関する先行研究における誤りの是正も可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we study cyclic codes over the Galois ring ${ m GR}({p^2},s)$. The main result is the characterization and enumeration of Hermitian self-dual cyclic codes of length $p^a$ over ${ m GR}({p^2},s)$. Combining with some known results and the standard Discrete Fourier Transform decomposition, we arrive at the characterization and enumeration of Euclidean self-dual cyclic codes of any length over ${ m GR}({p^2},s)$. Some corrections to results on Euclidean self-dual cyclic codes of even length over $\mathbb{Z}_4$ in Discrete Appl. Math. 128, (2003), 27 and Des. Codes Cryptogr. 39, (2006), 127 are provided.

研究の動機と目的

• 長さ $p^a$ の $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上のヘルミート自己双対巡回符号を完全に特徴付け、列挙すること。
• この特徴付けを応用して、$\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上の任意の長さのエウラーデス自己双対巡回符号の数を特定すること。
• $\mathbb{Z}_4$ 上の偶数長のエウラーデス自己双対巡回符号に関する、以前の研究における不正確さを是正すること。
• $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上の巡回符号に対して、離散フーリエ変換を用いたスペクトル分解フレームワークを確立すること。

提案手法

• 長さ $n = m p^a$（$p \nmid m$）の巡回符号を、$\mathrm{GR}(p^2,s)$ のガロア拡大上の符号の積に分解するため、離散フーリエ変換の分解を用いる。
• 分解を用いて、巡回符号のエウラーデス双対を、成分符号の双対の積として表現し、成分におけるヘルミート双対とエウラーデス双対を適用する。
• 偶数 $s$ の場合に、$\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上の自己同型 $\bar{\alpha} = a^{p^{s/2}} + b^{p^{s/2}}p$ を用いてヘルミート双対を定義する。
• 既知の $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上の長さ $p^a$ 巡回符号に関する結果と、ヘルミート自己双対符号の新しい特徴付けを組み合わせることで、エウラーデス自己双対符号の列挙を導出する。
• $m$ に関する $p$-巡回体のコセットの構造を用いて、分解の成分を分類し、双対性条件を特定する。
• 分解を用いて、[2]および[4]における $\mathbb{Z}_4$ 上のエウラーデス自己双対巡回符号の数に関する誤った主張を是正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $p^a$ の $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上のヘルミート自己双対巡回符号は、いくつ存在するか？
• RQ2 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上のエウラーデス自己双対巡回符号の構造は、任意の長さについて完全に特徴付け可能か？
• RQ3 $\mathbb{Z}_4$ 上の偶数長のエウラーデス自己双対巡回符号の正しい列挙は何か、特に $n=6$ および $n=10$ の場合について。
• RQ4 [2]および[4]における $\mathbb{Z}_4$-ベースのエウラーデス自己双対符号の結果が誤りである理由は何か？正しい定式化は何か？
• RQ5 離散フーリエ変換の分解は、$\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上の自己双対符号の分類と列挙をどのように可能にするか？

主な発見

• 長さ $p^a$ の $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上のヘルミート自己双対巡回符号の数は、完全に特徴付けられ、列挙されている。
• $n = m p^a$（$p \nmid m$）のとき、$\mathrm{GR}(p^2,s)$ 上のエウラーデス自己双対巡回符号の数は、$p$-巡回体のタイプに応じて、$N_{\rm E}(\mathrm{GR}(p^2,m_h),p^a)$、$N_{\rm H}(\mathrm{GR}(p^2,m_h),p^a)$、$N(\mathrm{GR}(p^2,m_k),p^a)$ を含む積で与えられる。
• $\mathbb{Z}_4$ 上の長さ $n=6$ のエウラーデス自己双対巡回符号の数は、正しくは 3 であり、[2]および[4]で主張されている 1 ではない。
• $\mathbb{Z}_4$ 上の長さ $n=10$ のエウラーデス自己双対巡回符号の数は、正しくは 5 であり、[2]および[4]で主張されている 1 ではない。
• $N_{\rm E}(\mathbb{Z}_4,2m)=1$ がすべての奇数 $m$ に対して成り立つという主張は誤りである。これは $m=1$ の場合にのみ成り立つ。これは、文献における広範な誤りを是正するものである。
• $\mathbb{Z}_4$ 上の長さ $n=m2^a$ のエウラーデス自己双対巡回符号の数の正しい公式は、$N_{\rm E}(\mathbb{Z}_4,2^a) \times \prod_{h\in J_1} N_{\rm H}(\mathrm{GR}(4,m_h),2^a) \times \prod_{k\in J_2'} N(\mathrm{GR}(4,m_k),2^a)$ である。