[論文レビュー] Hermitian vector bundles and extension groups on arithmetic schemes. I. Geometry of numbers

Jean-Benoît Bost, Klaus Kuennemann|ArXiv.org|Jan 12, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、算術幾何における算術的拡張群 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(F,G)$ を導入し、算術的スキーム上のヘルミートベクトルバンドルの適切な短完全列を用いて定義する。算術的曲線におけるこのような拡張の対数的サイズ不変量を確立し、スロープ不変量を用いた上界を示し、アーベル拡張または特定のラティスの場合に基本変換に関して不変であることを示す。

ABSTRACT

We define and investigate extension groups in the context of Arakelov geometry. The 'arithmetic extension groups' we introduce are extensions by groups of analytic types of the usual extension groups attached to $Ø_X$-modules over an arithmetic scheme $X$. In this paper, we focus on the first arithmetic extension group - the elements of which may be described in terms of admissible short exact sequences of hermitian vector bundles over $X$ - and we especially consider the case when $X$ is an 'arithmetic curve', namely the spectrum $\Spec Ø_K$ of the ring of integers in some number field $K$. Then the study of arithmetic extensions over $X$ is related to old and new problems concerning lattices and the geometry of numbers.

研究の動機と目的

• 算術幾何の文脈において、解析的およびヘルミート的データを含む古典的拡張群の拡張として、算術的拡張群 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(F,G)$ を定義し、研究すること。
• 算術的曲線 ${\rm Spec}\,{\mathcal{O}}_{K}$ 上の算術的拡張を、特にラティス理論およびボロノイ胞体と関連づける数の幾何の問題と結びつけること。
• 算術的拡張 $\alpha \in \widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(F,G)$ の対数的サイズ不変量 ${\mathfrak{s}}_{\overline{F},\overline{G}}(\alpha)$ を定義し、スロープ不変量を用いてその上界を示すこと。
• 数体 $K$ を $K'$ に拡張するような基本変換におけるこのサイズの振る舞いを調査し、特別な場合に不変性を確立すること。
• $\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Z}}$ 上の普遍拡張のサイズを、上半平面への $PSL_{2}(\mathbb{Z})$ の作用および還元理論と関連づけること。

提案手法

• ${\mathcal{O}}_{X}$-加群の拡張として算術的拡張群 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(F,G)$ を定義し、複素共役に関して不変な $\mathcal{C}^\infty$-分解を備えること。
• ヘルミートベクトルバンドルの適切な拡張の概念を導入し、$F$ および $G$ のメトリクスが $E$ から誘導され、分解と整合的になるようにすること。
• 分解セクションの $L^2$-ノルムを用いて、算術的拡張 $\alpha$ の対数的サイズ ${\mathfrak{s}}_{\overline{F},\overline{G}}(\alpha)$ を定義すること。
• 最大スロープ $\mu_{\max}(\overline{F})$ および $\mu_{\max}(\overline{G})$ を用いた ${\mathfrak{s}}_{\overline{F},\overline{G}}(\alpha)$ の上界を確立すること。
• ユークリッドラティスのボロノイ胞体の幾何を用いて、特にボロノイの第一種ラティスのラティスにおいて拡張のサイズを分析すること。
• 数体の拡張 $K \to K'$ におけるサイズの変換を調べることで、基本変換の振る舞いを分析し、$K'$ が $K$ のアーベル拡張である場合、または $\overline{F}^\lor \otimes \overline{G}$ がルートラティスまたはボロノイラティスの直和である場合に不変性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的幾何における拡張群は、解析的およびヘルミート的データをどのように拡張することで意味のある算術的拡張群となるか？
• RQ2 算術的曲線上の算術的拡張に対するサイズ不変量 ${\mathfrak{s}}_{\overline{F},\overline{G}}(\alpha)$ の幾何的意味は何か？
• RQ3 数体 $K'$ に拡張するような基本変換において、算術的拡張のサイズはどのように振る舞うか？
• RQ4 $\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Z}}$ 上の普遍拡張のサイズは、上半平面への $PSL_{2}(\mathbb{Z})$ の作用とどのように関連づけられるか？
• RQ5 算術的拡張のサイズが基本変換に関して不変となる条件は何か？

主な発見

• 算術的拡張 $\alpha$ のサイズ ${\mathfrak{s}}_{\overline{F},\overline{G}}(\alpha)$ は、最大スロープ $\mu_{\max}(\overline{F})$ および $\mu_{\max}(\overline{G})$ のみに依存する量によって上から有界である。
• $\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Z}}$ 上の普遍拡張に関して、その $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{Z})$ 上の点への制限のサイズは、上半平面への $PSL_{2}(\mathbb{Z})$ の作用と関連づけられる。
• 数体 $K'$ が $K$ のアーベル拡張である場合、または $\overline{F}^\lor \otimes \overline{G}$ がルートラティスまたはボロノイの第一種ラティスの直和である場合、算術的拡張のサイズは基本変換に関して不変である。
• 正のセリングパラメータを持つボロノイの第一種ラティスのボロノイ胞体は、置換体の組合せ型を持ち、その頂点はスーパー基本系の全順序部分集合と一対一対応する。
• 適切な拡張のサイズは、関連するラティスの被覆半径によって有界であり、特定の状況ではこの有界性が達成可能である。
• 拡張が円分拡張である場合、ユークリッドラティスからの基本変換に関して算術的拡張のサイズは不変であり、この不変性はボロノイ胞体の構造と関連している。