[論文レビュー] Hierarchies in Dependence Logic

Arnaud Durand, Juha Kontinen|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、依存論理（D）の断片と、それに対応する存在第二階論理（ESO）の断片との間の明確な関係を確立し、全称量化子の数（D(k−∀)）を制限するか、依存原子の幅（D(k−dep)）を制限することで、表現力における厳密な階層が得られることを示している。主な貢献は、D(k−dep)が正確に、高々kのアリティをもつ関数の量化を許すESOに一致することを証明し、両断片がkに関して厳密な階層を形成することを示したことである。これにより、NTIMERAM(nk)などの既知の複雑度クラスと関連づけられる。

ABSTRACT

We study fragments of dependence logic defined either by restricting the number k of universal quantifiers or the width of dependence atoms in formulas. We find the sublogics of existential second-order logic corresponding to these fragments of dependence logic. We also show that these both ways of defining fragments of dependence logic give rise to a hierarchy in expressive power with respect to k.

研究の動機と目的

• 句構文的パラメータの制限によって、依存論理の断片の表現力を特徴づけること。
• 依存論理の断片と存在第二階論理（ESO）の部分クラスとの間の正確な対応関係を確立すること。
• これらの句構文的制限が、有限構造上で表現力における厳密な階層を生じるかどうかを調査すること。
• 依存論理断片の階層を、既知の複雑度クラスおよび記述的複雑度における未解決問題と関連付けること。

提案手法

• 論文は2つの断片を定義する：D(k−∀) は全称量化子の数を制限し、D(k−dep) は依存原子の幅を制限する。
• D(k−dep) が、高々kのアリティをもつ関数の量化を許すESO断片 ESOf(k-ary) に等価であることを証明する。
• D(k−∀) が、スコーレム標準形で高々k個の全称一階量化子をもつESO文からなるESO断片 ESO1f(k∀,∃∗) に一致することを示す。
• 時間階層定理やクックの階層定理といった既知の複雑度結果を用いて、階層の厳密性を確立する。
• スペクトラムアリティ階層予想と、Ajtaiによるk+1アリティ関係の偶数基数の非定義可能性に関する結果を適用し、D(k−dep) が厳密な階層を形成することを示す。
• 論理的還元と包含関係を用いて厳密な階層結果を証明し、特定の条件下で D(k−∀) < D(2k+2−∀) および D(k−dep) < D(k+1−dep) が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 依存論理における全称量化子の数を制限することは、表現力における厳密な階層を生じるか？
• RQ2 依存原子の幅を制限する断片 D(k−dep) が、すべての記号集合とすべてのkに対して D(k+1−dep) に真に含まれるか？
• RQ3 すべてのkとすべての記号集合に対して、D(k−∀) の階層が厳密であることを証明できるか？
• RQ4 依存論理における句構文的制限は、NTIMERAM(nk) などの複雑度クラスとどのように関係するか？
• RQ5 D(k−dep) の階層は、すべての記号集合に対して厳密であるか、それとも特定の条件下でのみ成立するか？

主な発見

• D(k−dep) は、高々kのアリティをもつ関数の量化を許すESO断片 ESOf(k-ary) と論理的に同等である。
• 断片 D(k−∀) は、スコーレム標準形で高々k個の全称量化子をもつESOの部分クラス ESO1f(k∀,∃∗) に正確に一致する。
• D(k−∀) については、すべてのk ≥ 1 およびすべての記号集合に対して D(k−∀) < D(2k+2−∀) が成り立つことから、厳密な階層が存在することが示された。
• D(k−dep) については、記号集合にk+1アリティ関係が含まれる場合、D(k−dep)[τk+1] < D(k+1−dep)[τk+1] が成り立つ。これは、小さい断片で偶数基数が定義不能であることに起因する。
• D(k−dep)[τk+1] < D(k+1−dep)[τk+1] という結果は、Ajtaiの定理（ESOf(k-ary) で偶数基数が定義不能）を用いて確立された。
• 一般に D(k−dep) の厳密な階層を証明することは未解決であり、これはスぺクトラムアリティ階層予想を示唆する証拠を提供する。