[論文レビュー] Hierarchy and Expansiveness in Two-Dimensional Subshifts of Finite Type

Charalampos Zinoviadis|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2016

Cellular Automata and Applications参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、拡張的サブダイナミクスの観点から2次元有限型サブシフト（2D SFTs）を調査し、『極めて拡張的』なSFT—非拡張的となる方向が唯一のもの—という概念を導入する。Gácsらの研究にインspiredされた階層的・自己相似的構成を用いて、極めて拡張的SFTが一般の2D SFTの全計算的複雑性を捉えていることを証明している。これには、空集合問題の決定不能性や、非周期的例の存在が含まれる。

ABSTRACT

Using a deterministic version of the self-similar (or hierarchical, or fixed-point ) method for constructing 2-dimensional subshifts of finite type (SFTs), we construct aperiodic 2D SFTs with a unique direction of non-expansiveness and prove that the emptiness problem of SFTs is undecidable even in this restricted case. As an additional application of our method, we characterize the sets of directions that can be the set of non-expansive directions of 2D SFTs.

研究の動機と目的

• 2次元有限型サブシフト（SFT）の計算的・幾何的挙動を、拡張的サブダイナミクスの観点から理解すること。
• 拡張的方向が2D SFTの複雑性をどのように決定するかを調査すること。
• 非拡張的となる方向がちょうど1つのものである『極めて拡張的SFT』のクラスが、一般の2D SFTで観察される全範囲の挙動を示すかどうかを特定すること。
• 計算可能である2D SFTの系列に対して、拡張的となる方向を有する普遍的シミュレータの存在を確立すること。
• 2D SFTの非拡張的となる方向の集合が取りうる可能性を特定すること。

提案手法

• Gács, Durand, Romashchenko, Shenらが以前に開発した、階層的・自己相似的（固定点）の方法を用いて2D SFTを構成する。
• 特にネストされたおよび明示的なシミュレーションを含む、SFT間のシミュレーション概念を適用し、異なるSFTおよびその力学的性質を関連付ける。
• アドレスと時刻のフィールドを備えたセルオートマトン規則に基づくプログラミング言語を用い、SFT内でのチューリングマシンの計算をシミュレートする。
• 周期的挙動をモデル化し、配置構造への制約を課すために、IPPアート（無限周期的パターンオートマトン）の概念を定義・適用する。
• Medvedev次数の理論を用いて、任意のMedvedevクラスに極めて拡張的SFTが含まれることを示す。
• 位相的および力学的定義に基づく拡張性を用い、ある方向が拡張的であるとは、直線上の有限パターンが全配置を一意に決定する場合を指す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極めて拡張的2D SFTは、一般の2D SFTが示す挙動（決定不能性・非周期性など）をすべてシミュレートできるか？
• RQ2 2D SFTの非拡張的となる方向の集合として可能なものは何か？ そして、それらは特徴づけられるか？
• RQ3 空集合問題は、極めて拡張的2D SFTのクラスに制限されても決定不能であるか？
• RQ4 任意のMedvedevクラスは、極めて拡張的2D SFTによって表現可能か？
• RQ5 計算可能である2D SFTの系列に拡張的となる方向を有する普遍的2D SFTが存在するか？

主な発見

• 非周期的で極めて拡張的な2D SFTが存在し、非周期性が唯一の非拡張的となる方向を持つ場合でも達成可能であることを示した。
• 極めて拡張的2D SFTのクラスにおいても空集合問題が決定不能であることを証明し、一般の2D SFTが持つ全決定不能性がこの部分クラスに引き継がれていることを示した。
• 任意のMedvedevクラスに極めて拡張的2D SFTが含まれることを示し、このクラスがMedvedev階層における計算的複雑性の全レベルを捉えるのに十分に豊かであることを示した。
• 2D SFTの非拡張的となる方向の集合は、有理数の傾きについて閉じており、特定の位相的条件を満たすような方向の部分集合として任意に取りうる。このような集合は完全に特徴づけ可能である。
• 任意の計算可能な2D SFTの系列（拡張的となる方向を有する）に対して、明示的シミュレーションによりその系列の全要素をシミュレートできる普遍的2D SFTが存在する。