[論文レビュー] High-order entropy stable discontinuous Galerkin methods for the shallow water equations: curved triangular meshes and GPU acceleration

Xinhui Wu, Jesse Chan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 35被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、曲がった三角形メッシュ上での浅い水方程式に対して、高次のエントロピー安定離散ガラーキン（DG）法を提示し、良好なバランス性と離散的エントロピー安定性を保証する。高次の要素では2.5倍の計算コスト比を達成するGPU加速を実装しており、エントロピー安定DG（ESDG）は、算術演算の増加により、従来のDGに比べて1.5–2.5倍遅くなるが、GPUにより性能差がわずかに縮小される。

ABSTRACT

We present a high-order entropy stable discontinuous Galerkin (ESDG) method for the two dimensional shallow water equations (SWE) on curved triangular meshes. The presented scheme preserves a semi-discrete entropy inequality and remains well-balanced for continuous bathymetry profiles. We provide numerical experiments which confirm the high-order accuracy and theoretical properties of the scheme, and compare the presented scheme to an entropy stable scheme based on simplicial summation-by-parts (SBP) finite difference operators. Finally, we report the computational performance of an implementation on Graphics Processing Units (GPUs) and provide comparisons to existing GPU-accelerated implementations of high-order DG methods on quadrilateral meshes.

研究の動機と目的

• 曲がった三角形メッシュ上での浅い水方程式に対して、離散的エントロピーと良好なバランス性を保つ高次のエントロピー安定DGスキームの開発。
• 構造的四角形メッシュに限らない、非構造的三角形要素と曲がった幾何形状へのエントロピー安定DG法の拡張。
• GPU上での実装とベンチマークを実施し、従来のDGおよび既存のGPU加速DG手法と計算性能を比較。
• 特に三角形メッシュと四角形メッシュの比較において、エントロピー安定DGの計算コストが標準DGに比べてどの程度増加するかを分析。
• 連続的な水深分布に対しても良好なバランス性を維持し、高次の精度と安定性を保つこと。

提案手法

• 任意の体積および表面の数値積分ルールを用いたモーダルDG定式化により、曲がった三角形要素上での高次精度を達成。
• ハイブリッド化された和分による部分和（SBP）作用素を用いて、離散的エントロピー不等式を満たすエントロピー安定DGスキームを構築。
• 連続的な水深プロファイルに対して「静止した湖」状態を保持するための良好なバランス再構成戦略を実装。
• OCCAフレームワークを用いたGPU加速カーネルを実装し、ESDGおよび従来のDGの体積演算に対してマルチスレーティングを最適化。
• ESDG体積カーネルの計算コストを導出し、スケワシンメトリックなフラックス行列演算に起因し、要素あたり$O(N_q^2)$回のフラックス評価を伴う。
• CPUおよびGPU上でのESDGと従来のDG間の実行時間比を比較し、多項式次数$N$に応じたスケーリングを分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった三角形メッシュ上での浅い水方程式に対して、エントロピー安定かつ良好なバランス性を有する高次のDGスキームをどのように構築できるか？
• RQ2 エントロピー安定DGの計算コストオーバーヘッドは、三角形メッシュ上での標準DGに比べてどの程度で、多項式次数にどのように依存するか？
• RQ3 GPU加速は、三角形要素上でのエントロピー安定DGと従来のDGの間の性能差にどのように影響するか？
• RQ4 なぜESDGカーネルは三角形メッシュ上では四角形メッシュよりも高いコスト比を示すのか？また、これまではGPU最適化が施されたSBP-DG実装と比較してどうなるか？
• RQ5 GPUは、三角形メッシュ上でのエントロピー安定DGの計算コストペナルティをどの程度軽減できるか？

主な発見

• 提示された曲がった三角形メッシュ上でのESDGスキームは、離散的エントロピー安定性を保ち、連続的な水深に対して良好なバランス性を維持しており、数値実験で理論的性質が確認された。
• ESDG体積カーネルは、三角形メッシュ上では従来のDGに比べて少なくとも1.5倍遅く、高次の多項式（$N \approx 12$）ではコスト比が2.5に近づく。
• GPU上では、ESDGと従来のDGの性能差は縮小されるが完全には解消されず、高次の要素では$R_{GPU}$が約2.5のまま維持される。
• ESDGの高いコストは、標準DGの$O(N_q)$と比較して、要素あたりの行列要素ごとに$O(N_q^2)$回のフラックス評価を伴うため生じるが、同程度の漸近的FLOP数である。
• 計算コスト比は、メモリ帯域幅ではなく算術演算が支配的であるため、定数に収束する。これは、四角形SBP-DGとは異なり、メモリバウンドではないためである。
• 多項式次数$N \approx 12$では、算術演算の増加がメモリトラフィックのボトルネックを上回るようになり、実行時間比が再び低下するが、比は約2.5で安定する。