[論文レビュー] High-order phase transitions in the quadratic family

Daniel Coronel, Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|May 21, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、実および複素幾何的圧力関数の両方において高次の相転移を示す最初の非可換二次写像の例を提示する。$ t_* $ の近傍における相転移は $ \exp(-A(t_* - t)^{-2}) $ の形をとり、無限回微分可能であることを示唆している。相転移は、拡張性の欠如によるのではなく、不規則で再帰的でない臨界軌道に起因する。臨界パラメータ $ t_* $ において、系には均衡状態が存在しない。これは非一様双曲的力学における新しいメカニズムである。

ABSTRACT

We give the first example of a transitive quadratic map whose real and complex geometric pressure functions have a high-order phase transition. In fact, near the phase transition these functions behave as $x \mapsto \exp (- 1 / x^2)$ near $x = 0$, before becoming linear. This quadratic map has a non-recurrent critical point, so it is non-uniformly hyperbolic in a strong sense.

研究の動機と目的

• 幾何的圧力関数において高次相転移を示す最初の非可換滑らかな力学系の構成。
• このような相転移が、非再帰的臨界点を有する非一様双曲的設定でも発生しうることの証明。
• 相転移が無限次（無限接触）であることを示し、従来の知られていた例とは異なり一次相転移ではないことの明示。
• 系が非可換かつ非一様双曲的であるにもかかわらず、相転移点 $ t_* $ において均衡状態が存在しないことの証明。
• 二次族に近い一意的写像族において、この現象が安定であることを確立する。

提案手法

• 臨界点が非再帰的となるように、$ c \approx -2 $ の近くで強い非一様双曲性を保証する二次写像 $ f_c $ の構成。
• 熱力学的形式主義を用いて、幾何的圧力関数 $ P_c^\mathbb{R}(t) $ および $ P_c^\mathbb{C}(t) $ の分析。変分原理および等角測度を用いる。
• 記号的力学および誘導されたマルコフ分割を用い、臨界近傍への帰還時間の和をとることで圧力を推定。
• 臨界軌道に沿った微分の部分指数的減衰を捉える関数 $ \delta^\pm(t) $ を用いた圧力推定。
• 有界歪度補題および歪度推定を用いて、圧力和におけるヤコビアン項の成長を制御。
• Dobbsの結果（均衡状態の一意性および絶対連続性）を用い、背理法により $ t_* $ における均衡状態の非存在を証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換二次写像が、幾何的圧力関数において無限次相転移を示すことは可能か？
• RQ2 特に一様双曲的でない状況において、このような高次相転移を引き起こす力学的メカニズムは何か？
• RQ3 非一様双曲的系において非再帰的臨界点を有する場合、相転移点における均衡状態の不在は生じうるか？
• RQ4 この相転移挙動は、一意的写像族のパrameter空間における小さな摂動に対して安定か？
• RQ5 臨界軌道の不規則な挙動は、圧力関数の解析的構造にどのように影響するか？

主な発見

• 構成された二次写像の幾何的圧力関数は、$ t_* $ において高次相転移を示し、$ t < t_* $ において $ \exp(-A(t_* - t)^{-2}) $ の形をとることで、$ t_* $ において無限回微分可能であることが示唆される。
• 相転移は拡張性の欠如によるのではなく、臨界軌道の非再帰的かつ不規則なダイナミクスに起因する。
• 臨界点が非再帰的であるため、強い意味で非一様双曲的であるにもかかわらず、依然として無限次相転移を示す。
• 系が非可換かつ非一様双曲的であるにもかかわらず、潜在力 $ -t\log|Df_c| $ に対して $ t = t_* $ において均衡状態が存在しない。
• 実区間および複素ジュリア集合における圧力関数は、$ t_* $ で一致し、$ P_c^\mathbb{R}(t_*) = P_c^\mathbb{C}(t_*) = -t_* \chi_{\text{crit}}(c)/2 $ が成り立つ。
• この相転移挙動は安定である：二次族に近い十分に滑らかな一意的写像族のすべては、同じ高次相転移を示す写像を含む。