[論文レビュー] High-order residual distribution scheme for the time-dependent Euler equations of fluid dynamics

Rémi Abgrall, Paola Bacigaluppi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 31被引用数 44

ひとこと要約

本稿では、多次元における時間依存Euler方程式に対して、遅れ補正時間積分とBernstein補間多項式形状関数を組み合わせることで、空間および時間において任意の次数の精度を達成する高次精度な明示的残差分布スキームを提示する。時間更新行列を対角かつ可逆に保つことで、大規模な線形方程式系の解法を回避し、強い不連続性を有する圧縮流体の効率的で安定かつ高精度なシミュレーションが可能になる。ベンチマーク問題における最適収束率の妥当性が確認された。

ABSTRACT

In the present work, a high order finite element type residual distribution scheme is designed in the framework of multidimensional compressible Euler equations of gas dynamics. The strengths of the proposed approximation rely on the generic spatial discretization of the model equations using a continuous finite element type approximation technique, while avoiding the solution of a large linear system with a sparse mass matrix which would come along with any standard ODE solver in a classical finite element approach to advance the solution in time. In this work, we propose a new Residual Distribution (RD) scheme, which provides an arbitrary explicit high order approximation of the smooth solutions of the Euler equations both in space and time. The design of the scheme via the coupling of the RD formulation \cite{mario,abg} with a Deferred Correction (DeC) type method \cite{shu-dec,Minion2}, allows to have the matrix associated to the update in time, which needs to be inverted, to be diagonal. The use of Bernstein polynomials as shape functions, guarantees that this diagonal matrix is invertible and ensures strict positivity of the resulting diagonal matrix coefficients. This work is the extension of \cite{enumath,Abgrall2017} to multidimensional systems. We have assessed our method on several challenging benchmark problems for one- and two-dimensional Euler equations and the scheme has proven to be robust and to achieve the theoretically predicted high order of accuracy on smooth solutions.

研究の動機と目的

• 多次元における時間依存双曲型系の高次精度で明示的な有限要素型残差分布スキームの開発。
• 通常の有限要素法における質量行列の逆行列計算という計算ボトル neck を回避し、対角時間更新行列を可能にする。
• 陰的解法や大規模な線形方程式系を用いずに、空間および時間において任意の次数の精度を達成する。
• Bernstein多項式を形状関数として用いることで、時間更新における安定性および正値性を保証する。
• 滑らかでない解および強力な不連続性を有する問題に対して、滑らかな解と併せて、挑戦的な流体力学ベンチマーク問題において堅牢性と最適収束率を示す。

提案手法

• Bernstein多項式を形状関数として用いることで、グローバルに連続な区分的多項式近似を用いた空間離散化を定式化する。
• 残差分布フレームワークを適用し、自由度間で残差を分割しながら保存則およびコンactなスパarsity構造を維持する。
• 遅れ補正（DeC）法を用いて時間前進を統合し、時間更新行列を対角かつ可逆に保つ。
• Bernstein多項式の性質を活用して、対角係数の厳密な正値性を保証する。
• 部分三角形上での重み付き和として全残差を構築し、フラックスの一貫性のある高次再構成を可能にする。
• 空間的残差分布と時間積分の間に一貫性のある結合を構築し、空間および時間における高次精度を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパース質量行列を伴う大規模な線形方程式系の解法を回避できる、多次元双曲型系に対する高次精度残差分布スキームを構築可能か？
• RQ2 陰的解法を用いずに、高次精度な有限要素型残差分布スキームで明示的時間積分を達成できるか？その際、安定性や精度を損なわないか？
• RQ3 Bernstein多項式は、残差分布スキームにおける対角的かつ可逆な時間更新行列の実現にどのような役割を果たすか？
• RQ4 本スキームは滑らかな解において最適収束率を維持するとともに、強力な不連続性を有する問題に対しても堅牢性を保てるか？
• RQ5 Sodの衝撃波チューブおよびMach 3ステップ問題などの標準的ベンチマーク問題において、本スキームの性能はいかがなものか？

主な発見

• 提案スキームは滑らかな解において理論的予測と一致する最適な高次精度を達成し、観測された収束率が理論的予測と一致した。
• Bernstein多項式の使用により、時間更新行列が対角的かつ厳密に正定値となることが保証され、効率的な明示的時間積分が可能になった。
• 強力な衝撃波が存在する状況においても、本スキームは堅牢性と安定性を維持しており、ダブルマッチリフレクションおよびMach 3ステップ問題の成功した解像度が確認された。
• 粗いメッシュ上でも、4次精度のB3スキームは2次精度のB1スキームよりも、複雑な衝撃構造（例：三重点）を著しく優れた精度で捉えていた。
• グリッドを細かくするに従い、次数が上昇するに従い解の品質が明確に向上し、特に高次スキームは衝撃波および接触不連続性をより鋭く解像していた。