[論文レビュー] Higher Codimension Cycles on the Hilbert Scheme of Three Points on the Projective Plane

Tim Ryan, Alexander Stathis|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、マラビバリーナとソルズが定義した幾何的基底を用いて、射影平面 P² における3点のヒルベルトスキーム P²[3] 上の高次元サイクルのネフ錐および有効錐を計算する。次数2および3におけるネフ錐は、それぞれ6本および8本の極小的半直線を持つ有限次元多面体であり、P² 上のベクトルバンドルから生じるタウトロジカルバンドルのすべてのチャーン類およびセグレ類を明示的に計算し、幾何的基底における式を提示するとともに、2-非常に正のバンドルを用いてプラント錐の内側境界を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we study the higher codimensional cycle structure of the Hilbert scheme of three points in the projective plane. In particular, we compute all Chern (and Segre) classes of all tautological bundles on it and compute the nef (effective) cones of cycles in codimensions 2 and 3 (dimensions 2 and 3).

研究の動機と目的

• 射影平面 P² における3点のヒルベルトスキーム P²[3] 上のサイクルについて、次数2および3におけるネフ錐と有効錐を計算すること。
• マラビバリーナとソルズが定義した幾何的基底を用いて、P²[3] のチャウ環の構造を特定すること。
• P² 上のベクトルバンドルから生じるタウトロジカルバンドルのすべてのチャーン類およびセグレ類を計算すること。
• 2-非常に正のタウトロジカルバンドルを用いて、プラント錐の内側境界を提供すること。
• 群作用の軌道構造およびベクトルバンドル技法を用いて、除数錐を超えた高次元サイクル理論における正性の理解を拡張すること。

提案手法

• P²[3] に誘導される群作用のバイアリニツキ＝ビルール分解および軌道構造を用いて、サイクル類を分析する。
• マラビバリーナとソルズが定義した P²[3] のチャウ環の幾何的基底を用いて、サイクル類を明示的に表現する。
• ヒルベルトスキーム上のユニバーサルファミリーからのプッシュダウンおよびプッシュアップを用いて、タウトロジカルバンドルの構造を応用する。
• グレアマンニアン上のシューベルト計算および群構造を用いて、タウトロジカルバンドルのチャーン類およびセグレ類を導出する。
• 特定のタウトロジカルバンドルの2-非常に正性を用いて、高次元サイクルのプラント錐に対する内側境界を生成する。
• セグレ類の一般化された生成関数およびレーンの予想に関する既知の結果を用いて、次数6まですべてのチャーン類を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P² における3点のヒルベルトスキーム上での次数2および3におけるネフ錐の構造は何か？
• RQ2 P² 上の任意のベクトルバンドルに対して、P²[3] 上のタウトロジカルバンドルのチャーン類およびセグレ類をどのように明示的に計算できるか？
• RQ3 P²[3] 上のどのタウトロジカルバンドルが2-非常に正であり、それらはプラント錐にどのように寄与するか？
• RQ4 P²[3] の次数2および3におけるネフ錐および有効錐の極小的半直線の正確な数および幾何的記述は何か？
• RQ5 P²[3] 上の高次元正性錐（ネフ、プラント）は除数錐とどのように関係し、どのような新しい幾何的情報を明らかにするか？

主な発見

• P²[3] 上の次数2におけるネフ錐は、正確に6本の極小的半直線を持つ有限次元多面体であり、次数3におけるネフ錐は8本の極小的半直線を持つ。
• P²[3] 上の次元2における有効錐は6本の極小的クラスを持ち、次元3における有効錐は7本の極小的クラスを持つ。両者とも閉じており、有限次元多面体である。
• 任意のP² 上のベクトルバンドル V に対して、タウトロジカルバンドル V[3] のすべてのチャーン類を次数6まで明示的に計算し、幾何的基底における式を提示した。
• チャーン類 c₁(V[3]) から c₆(V[3]) までは、有理数係数を用いて、幾何的基底クラス A, B, C, D, E, U, V, W, X, Y, Z, α, β, γ, δ, ǫ, φ, ψ, Δ, Δ², Δ³ の線形結合として表現された。
• 次数2におけるプラント錐は、35A + 30B + 6C + 52D + 50E を含む16個の特定クラスが張る錐を含み、次数3および4に対しても同様の明示的内側境界が与えられた。
• 本論文では、2-非常に正のタウトロジカルバンドルの3つの族を同定した：スロープが [2,3] 内にある例外的バンドル、高々ランク99までのねじれ例外的バンドルの極限、および放物型族に沿ったバンドル。これらすべてがプラント錐の内側境界を生成する。