[論文レビュー] Higher-dimensional categories with finite derivation type

Yves Guiraud, Philippe Malbos|ArXiv.org|Oct 8, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、多様体の多様体（polygraphs）を用いて、nカテゴリの有限導出型（FDT）を導入・特徴づけ、語の書き換えからのスキュアの概念を一般化する。臨界分岐がFDTを決定するための鍵となるツールであることを確立し、結合則やブレード群をモデル化するような特定の3次多様体—たとえ収束的であるにせよ—が無限のホモトピー基底を持つため、FDTを満たさないことを証明する。

ABSTRACT

We study convergent (terminating and confluent) presentations of n-categories. Using the notion of polygraph (or computad), we introduce the homotopical property of finite derivation type for n-categories, generalizing the one introduced by Squier for word rewriting systems. We characterize this property by using the notion of critical branching. In particular, we define sufficient conditions for an n-category to have finite derivation type. Through examples, we present several techniques based on derivations of 2-categories to study convergent presentations by 3-polygraphs.

研究の動機と目的

• 語の書き換え系から高次元カテゴリへの有限導出型（FDT）の概念を、多様体を用いて拡張すること。
• 収束的提示における臨界分岐のホモトピー的性質を通じて、nカテゴリにおけるFDTを特徴づけること。
• 2カテゴリにおける導出的技法を用いて、nカテゴリが有限導出型を有するための十分条件を提供すること。
• FDTがティーツェ同値の下で不変であることを示し、それが提示ではなくnカテゴリ自体の構造的性質であることを保証すること。
• 収束的であるにもかかわらず有限導出型を有さない3次多様体の明示的反例を構成すること。

提案手法

• nカテゴリの提示として多様体（またはコンピュード）を用い、nセルを生成子と関係により帰納的に定義する。
• nカテゴリにおけるホモトピー関係をモデル化するため、自由群圏付加構造であるトラックnカテゴリΣ^⊤を導入する。
• ホモトピー基底を、すべての平行なnセルを同定する完全なホモトピー関係を生成する(n+1)セルの族として定義する。
• 多様体における臨界分岐の概念を用いて、還元列の整合性と停止性を分析する。
• 導出と次数の議論（例：セルに値を割り当てる導出dを用いる）を用いて、有限ホモトピー基底の非存在を証明する。
• ティーツェ同値を用いて、FDTが提示の同値の下でも保存されることを示し、それがnカテゴリ自体の性質であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体による収束的nカテゴリ提示が、どのような条件下で有限導出型を有するか？
• RQ2 多様体における臨界分岐は、与えられたnカテゴリが有限導出型を有するかどうかをどのように決定できるか？
• RQ3 多様体提示のティーツェ同値の下でも、有限導出型は保存されるか？
• RQ4 収束的3次多様体のうち、有限導出型を有さないものはあるか？ もしあるならば、その原因となる構造的特徴は何か？
• RQ5 ホモトピー基底と導出は、特定の3次多様体における有限ホモトピー基底の非存在を証明する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 結合則を提示する3次多様体は、有限ホモトピー基底の非存在が示されるため、有限導出型を有さない。
• ヤン・バクスター関係と自己逆関係を持つブレード群（または置換群）の3次多様体も、有限導出型を有さない。
• 3次多様体の自由2カテゴリにおける導出dを用いてセルに値を割り当てることができ、特定の値（例：a_{n+1}）が低次の項の和として表現できないことの不可能性が、有限ホモトピー基底の非存在を証明する。
• nでインデックス付けされた4セルの族は反例の最小ホモトピー基底を形成するが、この族は無限であるため、完全なホモトピー関係を生成する有限部分族は存在しない。
• 証明は、任意の有限部分族では必要なすべての4セル関係をカバーできないことから、矛盾に導くという事実に依拠している。
• 反例は、収束性（停止性と整合性）が有限導出型を意味するとは限らないことを示しており、3次多様体のような低次元の場合でさえ同様である。