[論文レビュー] Higher-dimensional Euclidean and non-Euclidean structures in planar circuit quantum electrodynamics

Alberto Saa, E. Miranda+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2021

Theoretical and Computational Physics参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、q ≥ 4 の多脚キャパシティブ・コプラ―を用いて、有効な n 次元カゴメ型構造（n-ゼオライト）を実現する平面的回路量子電磁力学（cQED）プラットフォームを提案する。この手法はフラットバンドと強いフルストレーションを支持し、フラットバンド状態の割合について正確な解析的式が導出され、現在の技術で実現可能な幾何学的構造の範囲が著しく拡張される。

ABSTRACT

We show that a recent proposal for simulating planar hyperbolic lattices with circuit quantum electrodynamics can be extended to accommodate also higher dimensional lattices in Euclidean and non-Euclidean spaces if one allows for circuits with more than three polygons at each vertex. The quantum dynamics of these circuits, which can be constructed with present-day technology, are governed by effective tight-binding Hamiltonians corresponding to higher-dimensional Kagomé-like structures ($n$-dimensional zeolites), which are well known to exhibit strong frustration and flat bands. We analyze the relevant spectra of these systems and derive an exact expression for the fraction of flat-band states. Our results expand considerably the range of non-Euclidean geometry realizations with circuit quantum electrodynamics.

研究の動機と目的

• 3 以上の頂点結合性を超えて、平面的cQEDプラットフォームを2次元格子から拡張すること。
• 平面的回路レイアウト内で、ユークリッド的および非ユークリッド的両方の高次元幾何学的構造を実現すること。
• これらの高次元格子におけるフラットバンド状態の割合について、正確な解析的式を導出すること。
• 現在の製造技術が、q ≥ 4 のために提案された q 脚キャパシティブ・コプラ―を実現可能であることを示すこと。
• スペクトル特性の分析、特に最大固有値の上限およびフラットバンド状態割合の収束性について。

提案手法

• q > 3 個のマイクロフォーエージングされた対称的スターフォーム構造を用いて、1 つの頂点に q 個のマイクロ波共振器を結合する q 脚キャパシティブ・コプラ―を設計する。
• 有効なタイトバインディングハミルトニアンを用いて、得られる n 次元カゴメ型（n-ゼオライト）格子上の光子のダイナミクスをモデル化する。
• 再帰関係を用いて、{p,q}タイル張りの同心円リングレイアウトにおける頂点数、辺数、多角形数を計算する。
• ライングラフ隣接行列のスペクトル解析を通じて、フラットバンド状態の割合について正確な式を導出する。
• オイラーの公式と再帰解の漸近的解析を用いて、大きな双曲的およびユークリッド的レイアウトにおける極限的フラットバンド割合を決定する。
• 既知の行列スペクトル不等式を用いて、ライングラフの隣接行列およびラプラシアン行列の最大固有値の上限を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的cQEDプラットフォームは、頂点結合性を増加させることで、2次元を超える高次元格子を模擬可能か？
• RQ2 多脚キャパシティブ結合によって形成される高次元 n-ゼオライト格子における、フラットバンド状態の正確な割合は何か？
• RQ3 大きな双曲的およびユークリッド的レイアウトにおけるフラットバンド割合はどのように収束するか？
• RQ4 これらの格子のスペクトル特性、例えば固有値の上限は解析的に決定可能か？
• RQ5 幾何学的曲率（正または負）は、模擬された格子のスペクトル的およびトポロジカル的特徴にどのように寄与するか？

主な発見

• 大きな {p,q} レイアウトにおけるフラットバンド状態の割合は、(σ−1)/(σ+1) に収束する。ここで σ はタイルの幾何学的性質から導かれる再帰行列のスペクトル半径である。
• 双曲的タイル張りでは、フラットバンド割合はリング数 ℓ に対して指数関数的に収束するが、ユークリッド的タイル張りでは累乗法則（O(1/ℓ)）に従って収束する。
• 大きな双曲的レイアウトにおける平均次数 ⟨k⟩ は、外周のリングに次数不足の頂点が存在するため、q よりも厳密に小さい。内部では q-正則であるが。
• ライングラフ隣接行列 A_LG の最大固有値は 2 から 2(q−1) の間で有界であり、レイアウトグラフの最小および最大次数に依存するより鋭い境界も得られる。
• ライングラフラプラシアン行列 A_LG* の最大固有値は q−2 から 2(q−1) の間で有界であり、これにより基盤となる格子の接続性と曲率が反映される。
• q 脚キャパシティブ・コプラ―（例：q=4,5）は、現在のマイクロフォーエージング技術で実現可能であり、平面的cQEDセットアップにおける高次元格子の実験的実現を可能にする。