[論文レビュー] Higher Du Bois and higher rational singularities

Robert Friedman, Radu Laza|arXiv (Cornell University)|May 10, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有理的・デュボア特異点の高階一般化として、$k$-有理的および$k$-デュボア特異点を導入し、$k$-デュボア特異点をもつ局所的完遂交差（lci）なファイバーをもつ平坦かつ固有な族に対して、$p \leq k$ のとき、高次直接像 $R^q f_* \Omega^p_{\mathcal{Y}/S}$ が局所自由であり、基底変換と両立することを証明する。これはデュボアの基礎的結果の拡張であり、$k$-デュボア特異点が特異点のハイパーサーフェスに対して $(k-1)$-有理的性を示し、ホッジ数の定数性およびカラビ＝ヤウ多様体の非遮断的変形への応用をもたらす。

ABSTRACT

We prove that the higher direct images $R^qf_*Ω^p_{\mathcal Y/S}$ of the sheaves of relative Kähler differentials are locally free and compatible with arbitrary base change for flat proper families whose fibers have $k$-Du Bois local complete intersection singularities, for $p\leq k$ and all $q\geq 0$, generalizing a result of Du Bois (the case $k=0$). We then propose a definition of $k$-rational singularities extending the definition of rational singularities, and show that, if $X$ is a $k$-rational variety with either isolated or local complete intersection singularities, then $X$ is $k$-Du Bois. As applications, we discuss the behavior of Hodge numbers in families and the unobstructedness of deformations of singular Calabi-Yau varieties. In an appendix, Morihiko Saito proves that, in the case of hypersurface singularities, the $k$-rationality definition proposed here is equivalent to a previously given numerical definition for $k$-rational singularities. As an immediate consequence, it follows that for hypersurface singularities, $k$-Du Bois singularities are $(k-1)$-rational. This statement has recently been proved for all local complete intersection singularities by Chen-Dirks-Mustaţă.

研究の動機と目的

• デュボアの $R^q f_* \mathcal{O}_\mathcal{Y}$ の局所自由性に関する定理を、$k$-デュボア特異点をもつ族において $p \leq k$ の高次形式 $\Omega^p$ に一般化すること。
• 有理的特異点の高階一般化として $k$-有理的特異点を定義し、Hodge理論的挙動が制御された特異多様体への古典的概念の拡張を図ること。
• 双対性およびホッジモジュール理論を用いて、ハイパーサーフェスにおいて $k$-デュボア特異点が $(k-1)$-有理的性を示すことを確立すること。
• 結果をホッジ数の定数性および特異カイラビ＝ヤウ多様体の変形の非遮断的性への応用に適用すること。

提案手法

• 任意の $0 \leq p \leq k$ に対して、ケーラー形式からデュボア形式への写像 $\phi^p: \Omega^p_Y \to \underline{\Omega}^p_Y$ の擬同型性を用いて $k$-デュボア特異点を定義する。
• 局所的完遂交差（lci）の仮定を用いて特異点集合の codimension を制御し、$p \leq k$ のとき $\Omega^p_{\mathcal{Y}/S}$ が $S$ 上で平坦であることを証明する。
• 双対性理論および混合ホッジモジュールを用いて、$\mathbb{D}(\underline{\Omega}_X^k)[-d_X]$ を $\mathbb{Q}_h[X][d_X]$ 上のホッジフィルトレーションと関連づけ、ホッジイデアルの理論を用いる。
• 標準的モルフィズム $\mathbb{Q}_h[X][d_X] \to \mathbb{D}(\mathbb{Q}_h[X](d_X)[d_X])$ とその各次数成分への誘導写像を分析し、$\widetilde{\alpha}_X = k+1$ のとき同型でないことを検出することで、矛盾を導く。
• 斎藤の双対性およびムスタツァ＝オラーノ＝ポーパ＝ヴィタゼクの双対性定理を用いて、ハイパーサーフェスにおいて $k$-デュボア特異点が $(k-1)$-有理的性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k$-デュボア特異点をもつファイバーをもつ族において、$p \leq k$ のとき、高次直接像 $R^q f_* \Omega^p_{\mathcal{Y}/S}$ が局所自由であり、基底変換と両立する条件は何か？
• RQ2 高次形式への一般化として、有理的特異点の自然な高階一般化は何か？
• RQ3 ハイパーサーフェスの場合に $k$-デュボア特異点と $k$-有理的特異点はどのように関係するか？また、$k$-デュボア特異点が $(k-1)$-有理的性を示すか？
• RQ4 ファイバーが $k$-デュボア特異点をもつ族において、ホッジ数 $\underline{h}^{p,q}$ が $p \leq k$ においても定数であるか拡張できるか？
• RQ5 ホッジイデアル $I_k(X)$ は、$k$ 次でケーラーからデュボアへの写像が同型でないことを検出する役割を果たすか？

主な発見

• 平坦かつ固有な族 $f: \mathcal{Y} \to S$ で、ファイバーが $k$-デュボア局所的完遂交差（lci）特異点をもつとき、すべての $q \geq 0$ および $0 \leq p \leq k$ に対して、$R^q f_* \Omega^p_{\mathcal{Y}/S}$ は局所自由であり、基底変換と両立する。
• 提案された $k$-有理的特異点の定義により、$k$-デュボア特異点がハイパーサーフェスにおいて $(k-1)$-有理的性を示すことが、双対性およびホッジモジュール解析により示された。
• $k$-デュボア特異点をもつハイパーサーフェス $X \subset Y$ に対して、$\widetilde{\alpha}_X > k+1$ が成り立つ。これは、$\widetilde{\alpha}_X = k+1$ のとき、標準的モルフィズム $\Omega^k_X \to \underline{\Omega}^k_X$ が同型でないことを示し、矛盾に導く。
• あるファイバー $Y_s$ が $k$-デュボア lci 特異点をもつ族において、ホッジ数 $\underline{h}^{p,q}(Y_s)$ は $p \leq k$ において定数であり、滑らかなファイバーのホッジ数と一致する。
• 本稿で提案された $k$-有理的性は、ハイパーサーフェスにおいて数値的 $k$-有理的性と同値であることが、付録で斎藤により証明され、従来の定義と整合的であることが確認された。