[論文レビュー] Higher order generalized geometric polynomials

Levent Kargın, Bayram Çekım|DergiPark (Istanbul University)|Dec 23, 2016

Advanced Mathematical Identities被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、一般化されたメリン微分作用素を用いて高次の一般化幾何多項式を導入し、退化ベルヌーイ多項式およびオイラー多項式との関係を確立する。カルツの有限和およびハワードの有限和に対する新しい閉形式評価を導出し、リーマンゼータ関数を含むべき級数を評価する。特に、恒等式 $\sum_{k=2}^\infty\frac{\zeta(k)k^n}{2^k} = \log 2 + \sum_{k=1}^{n}\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n+1}{k+1}k!(1-2^{-k-1})\zeta(k+1)$ が得られる。

ABSTRACT

According to generalized Mellin derivative (Kargin), we introduce a new family of polynomials called higher order generalized geometric polynomials. We obtain some properties of them.We discuss their connections to degenerate Bernoulli and Euler polynomials. Furthermore, we find new formulas for the Carlitz's (Carlitz) and Howard's (Howard2) finite sums. Finally, we evaluate several series in closed forms, one of which has the coefficients include values of the Riemann zeta function. Moreover, we calculate some integrals in terms of generalized geometric polynomials.

研究の動機と目的

• 一般化されたメリン微分作用素を用いて、高次の一般化幾何多項式の新しいクラスを定義し、その性質を研究すること。
• これらの多項式と退化ベルヌーイ多項式およびオイラー多項式との関係を確立すること。
• カルツの有限和およびハワードの有限和に対する新しい閉形式の表現を導出すること。
• 係数にリーマンゼータ関数を含むべき級数を閉形式で評価すること。
• 多項式の積分表現を導出し、メリン変換技術を用いて関連する積分を評価すること。

提案手法

• 本稿では、一般化されたメリン微分作用素 $\left(\beta x^{1-\alpha/\beta}D\right)^n$ を用いて、高次の一般化幾何多項式 $w_n^{(s+1)}(x;\alpha,\beta,r)$ を定義する。
• 生成関数および一般化されたスターリング数 $S_1(n,k;\alpha,\beta,r)$ と $S_2(n,k;\alpha,\beta,r)$ を用いて、多項式の漸化式および生成関数を導出する。
• 指数型の生成関数、例えば $x^{r/\beta}e^{xt}$ に一般化されたメリン微分作用素を適用することで、多項式の恒等式を導出する。
• メリン＝バーンズ積分およびガンマ関数を用いて、積分表現を導出する。特に逆メリン変換を用いる。
• 特に $\alpha \to 0$ の極限において、既知のハーヴィッツおよびリーマンゼータ関数の積分表現を応用する。
• 有理関数および指数関数的生成関数に一般化された微分作用素を適用することで、閉形式で級数および積分を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたメリン微分作用素を用いて、特殊関数と関連する新しい多項式クラスを定義する方法は何か？
• RQ2 係数にリーマンゼータ関数を含むべき級数の閉形式評価は何か？
• RQ3 新しく導入された多項式族を用いて、カルツの有限和およびハワードの有限和に対する新しい公式を導出できるか？
• RQ4 高次の一般化幾何多項式は、退化ベルヌーイ多項式およびオイラー多項式とどのように関係するか？
• RQ5 メリン変換技術を用いて、これらの多項式に対する積分表現を確立できるか？

主な発見

• 本稿では、級数 $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta(k)k^n}{2^k} = \log 2 + \sum_{k=1}^{n}\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n+1}{k+1}k!(1-2^{-k-1})\zeta(k+1)$ の閉形式評価を導出し、すべての整数 $n \geq 0$ に対して有効であることを示した。
• 多項式の新しい積分表現をメリン＝バーンズ積分を用いて確立した：$\frac{1}{(1+x)^{s+1}}w_n^{(s+1)}\left(\frac{-x}{1+x};\alpha,\beta,r\right) = \frac{1}{2\pi i\Gamma(s+1)}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} (r - \beta t|\alpha)_n x^{-t} \Gamma(t) \Gamma(s+1-t) dt$。
• $\alpha \to 0$ の極限において、一般化幾何多項式は $w_n(x;0,\beta,r) = \sum_{k=0}^n W_{\beta,r}(n,k) \beta^k k! x^k$ に簡略化され、$r$-ホイットニー数と関連づけられる。
• 本稿では、$\frac{e^{-rx}}{1-e^{-\beta x}}w_n\left(\frac{e^{-\beta x}}{1-e^{-\beta x}};0,\beta,r\right) = \frac{\beta^n}{2\pi i}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} (\beta x)^{-t} \zeta(t-n, \frac{r}{\beta}) \Gamma(t) dt$ を証明し、既知の逆メリン変換を一般化した。
• ガンマ関数およびゼータ関数を含む積分を、本手法により閉形式で評価でき、[7, 系16] における先行研究の結果を拡張した。
• 一般化多項式フレームワークを用いて、退化ベルヌーイ多項式およびオイラー多項式との関係を明示的な公式により形式化した。