[論文レビュー] Hilbert's Tenth Problem for function fields of varieties over C

Kirsten Eisentraeger|ArXiv.org|Sep 20, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、複素数体上の多様体の関数体に対してヒルベルトの10番目の問題の決定不能性を確立し、KimとRoushのℂ(t₁,t₂)に関する結果を一般化する。次元≥2の関数体上において、加法、整除、ゼロ述語を備えたℤ×ℤのディオファントス的モデルを構築することで、ランク1の楕円曲線とTsen-Langの定理を用いて、そのような体上での存在的定義を活用し、決定不能性を示す。

ABSTRACT

Let K be the function field of a variety of dimension at least 2 over an algebraically closed field of characteristic zero. Then Hilbert's Tenth Problem for K is undecidable. This generalizes the result by Kim and Roush from 1992 that Hilbert's Tenth Problem for the purely transcendental function field C(t_1,t_2) is undecidable.

研究の動機と目的

• ℂ(t₁,t₂)におけるヒルベルトの10番目の問題の決定不能性結果を、ℂ上のある次元≥2の多様体の関数体へ拡張すること。
• このような関数体上において、加法、整除、ゼロ述語を備えたℤ×ℤのディオファントス的モデルを構築すること。
• 加法と乗法を備えた整数が、これらの体上で存在的に定義可能であることを示し、ディオファントス問題の決定不能性を示すこと。
• ランク1の楕円曲線とTsen-Langの定理に基づく手法を、高次元関数体へ一般化すること。
• 係数をℂ上でのトランスエンデンス次数2のℤ[z₁,z₂]に制限しても、問題の決定不能性が保たれることを確立すること。

提案手法

• K における構造 ⟨ℤ×ℤ, +, |, ℤ, 𝒲⟩ のディオファントス的モデルを構築する。ここで | は整除を表し、ℤ はゼロ述語を表す。
• K 上のランク1の楕円曲線を用いて、Mordell-Weil群の構造を活用し、ℤ×ℤ に同型なディオファントス的部分集合を定義する。
• 楕円曲線の点を用いて、加法およびゼロ述語を存在的論理式によって定義する。
• 関数体上の二次形式の系を用いて、関係 (m,1)∣(n,r) の整除関係が存在的に定義可能であることを証明する。
• Tsen-Langの定理を適用し、トランスエンデンス次数1の関数体上での二次形式の非自明解の存在を保証する。
• 付値論的議論とKummer理論を用いて、関数体における二次方程式の可解性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ上の次元が2以上の多様体の関数体に対して、ヒルベルトの10番目の問題は決定不能か？
• RQ2 このような関数体上において、加法、整除、ゼロを備えたℤ×ℤのディオファントス的モデルを構築できるか？
• RQ3 Mordell-Weil群が制御可能なランク1の楕円曲線の存在が、関数体上での算術的構造の定義を可能にするか？
• RQ4 Tsen-Langの定理を用いて、ディオファントス的定義の文脈で二次形式の可解性を保証できるか？
• RQ5 係数をℂ上でのトランスエンデンス次数2のℤ[z₁,z₂]に制限しても、決定不能性の結果は保たれるか？

主な発見

• 任意の代数的に閉じた体（特性0）上、次元≥2の多様体の関数体 K に対して、ヒルベルトの10番目の問題は決定不能である。
• このような K 上において、加法、整除、ゼロ述語を備えたℤ×ℤのディオファントス的モデルが構築された。
• 関係 (m,1)∣(n,r) の整除関係が、関数体上の二次方程式の系を用いて存在的に定義可能であることが示された。
• Tsen-Langの定理により、トランスエンデンス次数1の関数体上での二次形式の非自明解の存在が保証され、これが定義可能性の証明において重要である。
• KimとRoushの1992年のℂ(t₁,t₂)に関する結果が、ℂ上すべての高次元関数体へ一般化された。
• この構成は、ℂに限らず、任意の特性0の代数的に閉じた体に対して一様に成立する。