[論文レビュー] Hilbert-Schmidt Operators and Frames - Classification, Approximation by Multipliers and Algorithms

Péter Balázs|ArXiv.org|Nov 21, 2006

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の行列に対するヒルベルト＝シュミット近似をフレーム乗算子—解析係数に固定された記号を乗じた後、合成を行う作用素—によって計算するための新しいアルゴリズムを提示する。フレーム理論とテンソル積構成を用いることで、グラム行列の疑似逆行列を介した最適記号の効率的計算が可能となり、ガボール、ウェーブレット、不規則フレームへの応用が可能であり、非タイト系でさえも高い数値精度を達成する。

ABSTRACT

In this paper we deal with the connection of frames with the class of Hilbert Schmidt operators. First we give an easy criteria for operators being in this class using frames. It is the equivalent to the criteria using orthonormal bases. Then we construct Bessel sequences frames and Riesz bases for the class of Hilbert Schmidt operators using the tensor product of such sequences in the original Hilbert space. We investigate how the Hilbert Schmidt inner product of an arbitrary operator and such a rank one operator can be calculated in an efficient way. Finally we give an algorithm to find the best approximation, in the Hilbert Schmidt sense, of arbitrary matrices by operators called frame multipliers, which multiply the analysis coefficents by a fixed symbol followed by a synthesis.

研究の動機と目的

• ヒルベルト＝シュミット作用素クラスのためのフレームに基づく基準を用いて、フレームとヒルベルト＝シュミット作用素との間の関係を確立すること。
• 元のヒルベルト空間内のフレーム系列のテンソル積を用いて、ヒルベルト＝シュミット作用素空間におけるバーゼル系列、フレーム、リーマン基底を体系的に構成すること。
• 任意の行列に対する最良のヒルベルト＝シュミット近似を、任意のフレーム系列に適用可能な効率的アルゴリズムを開発すること。
• 時間変動型信号処理に向けたフレーム乗算子の数値的実装を可能とし、タイトでないフレームや不規則フレームを含む応用を可能とすること。
• 信号処理、ガボール、ウェーブレット、聴覚モデル応用の分野における実用的利用を目的としたMATLABコードの提供。

提案手法

• 作用素がヒルベルト＝シュミットであるためのフレームに基づく特徴付けを用いる：任意のフレーム (fₖ) に対して ∑‖Hfₖ‖² < ∞ が成り立つとき、かつそのときに限り、作用素はヒルベルト＝シュミットである。これは正規直交基底の基準に類似している。
• テンソル積 (gₖ ⊗ fₗ) を用いてヒルベルト＝シュミット作用素の基底を構成し、ヒルベルト＝シュミット空間におけるリーマン基底またはフレームを形成する。
• 計算複雑性を低減するため、ヒルベルト＝シュミット内積 ⟨T, gₖ ⊗ fₗ⟩_HS を ⟨Tgₖ, fₗ⟩ として効率的に計算する。
• 最良の近似問題を線形方程式系として定式化する：‖T − ∑σₖ(gₖ ⊗ fₖ)‖_HS を最小化し、グラム行列 G_HS の疑似逆行列を用いて解く。
• 最適記号 σ = (G_HS)^† × losym を導出する。ここで losym は T とランク1作用素との内積を含む。
• 対称な場合に |D'*D|² を用いた最適化により、効率的な行列演算を用いたMATLABでの実装を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素のヒルベルト＝シュミット性を、正規直交基底の代わりにフレームを用いて特徴付けられるか？また、この特徴付けは標準的定義と同値であるか？
• RQ2 フレーム系列のテンソル積を用いて、ヒルベルト＝シュミット作用素空間におけるバーゼル系列、フレーム、リーマン基底を体系的に構成する方法は何か？
• RQ3 任意の作用素 T とランク1作用素 gₖ ⊗ fₗ の間のヒルベルト＝シュミット内積を効率的に計算する最良の方法は何か？
• RQ4 非タイトおよび不規則フレームを含む任意のフレームに対して、任意の行列に対するフレーム乗算子による最良のヒルベルト＝シュミット近似を効率的に計算できるか？
• RQ5 恒等作用素を近似する際、元の行列の構造的性質（例：対角優勢）は、アルゴリズムによってどの程度保持されるか？

主な発見

• フレーム乗算子による行列の最良の近似は、フレームのグラム行列の疑似逆行列を用いて計算され、ヒルベルト＝シュミット意味で最適な係数が得られる。
• 非タイトフレームを用いた ℂ² における恒等作用素に対して、係数 σ = (3.1547, -1.3660, 1.5774) を用いて、数値精度の範囲内で完全な再構成が達成される。
• ガボール系においてガウス窓（n=32）を用いる場合、格子パラメータが増加するにつれて恒等作用素の近似精度が低下する：a=b=2 ではほぼ完璧な近似、a=b=16 では構造の喪失が生じ、フレーム境界は A≈8.0 から B≈1.00001 に低下する。
• 最適化された |D'*D|² を用いることで、一般フレームに対して計算量が ∼K²(n² + 2) に抑えられ、ナイーブな計算（∼K²(n² + m² + 1)）に比べて著しく効率的である。
• 本手法は、タイトでないフレームに対しても恒等作用素をうまく近似でき、フレーム乗算子がタイトフレームに限定されないことを示している。
• 本アルゴリズムのMATLABコードは公開されており、合成およびガボール例への適用を通じて、堅牢性と数値的正確性が確認されている。