[논문 리뷰] Hirzebruch classes and motivic Chern classes for singular spaces

Jean‐Paul Brasselet, Joerg Schuermann외 1명|ArXiv.org|2005. 03. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 23인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 혼합 호지 모듈의 이론을 기반으로 한 함수적 구성에 의해, 기저 공간 위의 다양체의 그로텐디크 군을 사용하여 특이 복소대수기하 공간에 대한 모티브릭 코흐너 및 히르체브루흐 계열을 도입한다. 이는 코흐너, 토드, L-계열 변환을 통합하며, 일반화된 특성 클래스와 적절한 투영에 대한 호환성을 보장하는 자연스러운 변환 $ T_{y*} $ 를 제공한다. 주요 기여는 고전적 특성 클래스를 일반화하고, 적절한 투영에 대해 가환성을 유지하는 $ T_{y*} $ 를 정의하는 것이다. 이는 특이점의 해소와 호지 이론에 의해 명시적으로 실현된다.

ABSTRACT

In this paper we study some new theories of characteristic homology classes for singular complex algebraic (or compactifiable analytic) spaces. We introduce a motivic Chern class transformation mC_{*}: K_{0}(var/X)-> G_{0}(X)[y], which generalizes the total λ-class of the cotangent bundle to singular spaces. Here K_{0}(var/X) is the relative Grothendieck group of complex algebraic varieties over X as introduced and studied by Looijenga and Bittner in relation to motivic integration, and G_{0}(X) is the Grothendieck group of coherent sheaves of O_{X}-modules. We define a natural transformation T_{y*}: K_{0}(var/X)-> H_{*}(X,Q)[y] commuting with proper pushdown, which generalizes the corresponding Hirzebruch characteristic. T_{y*} is a homology class version of the motivic measure corresponding to suitable specialization of the well known Hodge polynomial. This transformation unifies the Chern class transformation of MacPherson and Schwartz (for y=-1), the Todd class transformation of the singular Riemann-Roch theorem of Baum-Fulton-MacPherson (for y=0) and the L-class transformation of Cappell-Shaneson (for y=1). In the simplest case of a normal Gorenstein variety with ``canonical singularities'' we also explain a relation among the ``stringy version'' of our characteristic classses, the elliptic class of Borisov-Libgober and the stringy Chern classes of Aluffi and De Fernex-Lupercio-Nevins-Uribe. Moreover, all our results can be extended to varieties over a base field k of characteristic 0.

연구 동기 및 목표

• 특이 복소대수기하 공간에 대해 상대 그로텐디크 군 $ K_0(var/X) $ 에서의 모티브릭 코흐너 계열 변환 $ mC_* $ 를 정의한다.
• 특이 다양체에 대해 코흐너, 토드, L-계열 변환을 일반화하는 히르체브루흐 계열 변환 $ T_{y*} $ 를 구성한다.
• 특이점의 해소와 혼합 호지 모듈 이론을 사용하여 함수적 및 적절한 투영에 대한 호환성을 확립한다.
• 특수화된 호지 다항식을 통해 고전적 특성 클래스(예: 맥퍼슨, 보움-플라워트-맥퍼슨, 캡펠-셰인슨)를 하나의 프레임워크 아래 통합한다.
• 특성 0인 체 위의 다양체로 이 이론을 확장하고, 스트링이론적 불변량과 타원적 계열과의 관계를 규명한다.

제안 방법

• Du 보아의 혼합 호지 이론에서 유도된 블로우업 관계를 사용하여 특이점의 해소를 통해 $ mC_*: K_0(var/X) \to G_0(X) \otimes \mathbb{Z}[y] $ 를 정의한다.
• 일반화된 토드 계열 변환 $ td_{(1+y)} $ 를 사용하여 $ T_{y*} = td_{(1+y)} \circ mC_* $ 의 조합을 통해 $ T_{y*}: K_0(var/X) \to H_*(X) \otimes \mathbb{Q}[y] $ 를 구성한다.
• Saito의 대수적 혼합 호지 모듈 이론을 사용하여 $ mC_* $ 의 함수적 구성법을 제공하여 적절한 투영에 대한 호환성을 보장한다.
• 다이어그램 (1)을 통해 $ mC_* $, $ T_{y*} $, 일반화된 토드 계열 간의 가환성을 증명하며, $ y = -1, 0, 1 $ 에서 $ T_{y*} $ 가 고전적 불변량을 보간함을 보여준다.
• Du 보아 복합체의 호지 필터링과의 관계를 규명하여, $ gr_{-p}^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ 가 $ G_0(X) $ 에서 $ [gr_{-p}^F DR(\mathbb{Q}_X^H)] = [gr_p^F \underline{\Omega}^*_{X}] $ 라는 등식을 만족함을 보인다.
• Saito의 결과를 사용하여, 해소 $ \pi: X' \to X $ 에 대해 $ gr_{-n}^F DR(\mathbb{Q}_X^H) \simeq \pi_* \Lambda^n T^*X'[-n] $ 과 $ gr_0^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ 가 약한 정규화층 $ \mathcal{O}_X^{wn} $ 에 대응함을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모티브릭 코흐너 계열은 매끄러운 공간에서 특이 복소대수기하 공간으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 특이 다양체에 대해 코흐너, 토드, L-계열 변환을 보간하는 통합된 히르체브루흐 계열 변환 $ T_{y*} $ 는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 혼합 호지 모듈은 특이 공간에 대한 함수적 특성 계열을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 새로운 계열은 보리소프-립고버의 스트링이론적 코흐너 계열과 타원적 계열과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 Du 보아 복합체의 호지 필터링을 통한 모티브릭 코흐너 계열의 호지 이론적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 변환 $ T_{y*} $ 는 매끄러운 다양체에서의 정규화 조건에 의해 유일하게 결정된다: $ T_{y*}([id_X]) = T^*_y(TX) \cap [X] $, 이는 히르체브루흐의 특성 계열을 일반화한다.
• 모티브릭 코흐너 계열 $ mC_* $ 는 매끄러운 $ X $ 에 대해 $ mC_*([id_X]) = \lambda_y(T^*X) \cap [\mathcal{O}_X] $ 를 만족하며, 이는 $ \lambda $-계열을 특이 공간으로 확장한다.
• $ T_{y*} $ 는 $ y = -1 $ 에서 코흐너-스완-맥퍼슨 클래스, $ y = 0 $ 에서 토드 클래스, $ y = 1 $ 에서 $ L $-클래스와 가환하는 다이어그램에 포함되어 있으며, 이러한 불변량을 통합한다.
• 유리수 호모로지 다양체 $ X $ 에 대해 추측 $ T_{1*}(X) = L_*(X) $ 가 성립하며, $ L $-클래스는 사이클 사상에 의해 차우 군의 이미지에 속한다.
• $ gr_{-n}^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ 는 해소 $ \pi: X' \to X $ 에 대해 $ \pi_* \Lambda^n T^*X'[-n] $ 와 동형이며, 이는 해소의 정규화선다와 연결된다.
• $ gr_0^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ 는 약한 정규화층 $ \mathcal{O}_X^{wn} $ 에 대응하며, $ X $ 가 Du Bois 특이점을 가진다 하는 조건은 $ \mathcal{O}_X \to gr_0^F DR(\mathbb{Q}_X^H) $ 가 준위상동형임과 동치이다.