[論文レビュー] Hitting times of Bessel processes

T. Byczkowski, Jacek Małecki+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$x > 1$ から出発するインデックス $\mu \in \mathbb{R}$ のBessel過程がレベル1に初めて到達する時間の密度について、先行研究の積分公式を用いて鋭い一様な推定値を提供する。主な貢献は、時間および空間変数の両方において比較的最良の境界を与えるものであり、$\mathbb{R}^n$ 内のブラウン運動に対する既存の推定値を改善し、実双曲空間内の双曲的ブラウン運動の正確なポアソン核推定値を可能にする。

ABSTRACT

Let $T_1^{(μ)}$ be the first hitting time of the point 1 by the Bessel process with index $μ\in \R$ starting from $x>1$. Using an integral formula for the density $q_x^{(μ)}(t)$ of $T_1^{(μ)}$, obtained in Byczkowski, Ryznar (Studia Math., 173(1):19-38, 2006), we prove sharp estimates of the density of $T_1^{(μ)}$ which exibit the dependence both on time and space variables. Our result provides optimal estimates for the density of the hitting time of the unit ball by the Brownian motion in $\mathbb{R}^n$, which improve existing bounds. Another application is to provide sharp estimates for the Poisson kernel for half-spaces for hyperbolic Brownian motion in real hyperbolic spaces.

研究の動機と目的

• インデックス $\mu$ のBessel過程が $x > 1$ から出発するとき、レベル1への最初の到達時間 $T_1^{(\mu)}$ の密度に対する鋭い一様推定値を導出すること。
• これらの推定値を $n$ 次元ブラウン運動が単位球に到達する時間に拡張し、時間と空間の全域において既存の境界を改善すること。
• 結果を応用して、Bessel過程への劣微分を用いて、実双曲空間内の半空間におけるポアソン核の正確な推定値を導出すること。
• 特に平面的ブラウン運動において、$t < |x|^2$ の範囲で、下界と上界に異なる指数定数を用いていた先行推定値のギャップを解消すること。

提案手法

• 先行研究 [5] に由来するBessel過程の到達時間密度の積分公式を用い、複雑ではあるが鋭い境界を導出するのに非常に効果的である。
• スケーリング性質を適用して、問題を $a = 1$ の場合に簡略化し、$x > 1$ に集中する。
• Bessel関数 $I_0$、$K_0$ 及びそれらの組み合わせの漸近展開を用いて、時間領域 $u \in (0,1/x)$、$(1/x,1)$、$(1,\infty)$ ごとの積分を推定する。
• 積分を $u$ の範囲に基づき三つの部分 $J_1$、$J_2$、$J_3$ に分割し、既知の漸近挙動および積分の境界を用いてそれぞれの部分に対して別個の推定値を導出する。
• 関数 $w_\lambda(v)$ を介した到達時間密度とそのラプラス変換との関係を用い、密度を回復する。
• 関数 $f(x,v) \approx \frac{1}{x(v+1)^{3/2}(v+x)^{1/2}} \frac{\log(x+1)}{\log(v+2)(\log(x+1)+\log(v+2))}$ を用いた比較技術により、すべての $x > 1$ および $t > 0$ に対して一様な境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インデックス $\mu \in \mathbb{R}$ のBessel過程が $x > 1$ から出発するとき、時間および空間変数の全域にわたる、レベル1への最初の到達時間の密度に対する鋭い一様境界は何か？
• RQ2 これらの境界は、$n$ 次元ブラウン運動が単位球に到達する時間に対する既存の推定値を、特に $t < |x|^2$ の範囲でどのように改善するか？
• RQ3 これらの推定値は、Bessel過程への劣微分を用いて、実双曲空間内の半空間におけるポアソン核の漸近的制御を正確に得られるか？
• RQ4 $t \to \infty$ のとき、平面的ケース（$n=2$）における到達時間密度の正確な挙動は何か？ また、それらは先行結果とどのように比較されるか？
• RQ5 到達時間密度の積分表現は、どのように異なる時間スケールに応じて分解され、効果的に推定されるか？ これにより、時間と空間の全域にわたる一様な境界が達成できるか？

主な発見

• $\mu \neq 0$ の場合、$T_1^{(\mu)}$ の密度は $\frac{\mathbf{P}_x^{(\mu)}(T_1^{(\mu)} \in dt)}{dt} \approx (x-1)\left(\frac{1}{1+x^{2\mu}}\right)\frac{e^{-(x-1)^2/2t}}{t^{3/2}}\frac{x^{2|\mu|-1}}{t^{|\mu|-1/2}+x^{|\mu|-1/2}}$ を満たし、$\mu$ のみに依存する一様な定数を伴う。
• $\mu = 0$ の場合、密度は $\frac{\mathbf{P}_x^{(0)}(T_1^{(0)} \in dt)}{dt} \approx (x-1)e^{-(x-1)^2/2t}\frac{(x+t)^{1/2}}{xt^{3/2}}\frac{1+\log x}{(1+\log(1+t/x))(1+\log(t+x))}$ を満たし、$t > 0$ 全域にわたる平面的ケースにおける最初の鋭い推定値を提供する。
• $n > 2$ の場合、$n$ 次元ブラウン運動が単位球に到達する時間 $\sigma^{(n)}$ は $\frac{P^x(\sigma^{(n)} \in dt)}{dt} \approx \frac{|x|-1}{|x|}\frac{e^{-(|x|-1)^2/2t}}{t^{3/2}}\frac{1}{t^{(n-3)/2}+|x|^{(n-3)/2}}$ を満たし、先行の境界を改善する。
• $n = 2$ の場合、推定値 $\frac{P^x(\sigma^{(2)} \in dt)}{dt} \approx \frac{|x|-1}{|x|}e^{-(|x|-1)^2/2t}\frac{(|x|+t)^{1/2}}{t^{3/2}}\frac{1+\log|x|}{(1+\log(1+t/|x|))(1+\log(t+|x|))}$ は、$t > 0$ および $|x| > 1$ 全域にわたって新規かつ最適であり、過去の研究におけるギャップを解消する。
• 生存確率 $\mathbf{P}_x^{(\mu)}(t < T_1^{(\mu)} < \infty)$ に対しても鋭い推定値が得られ、$t$ が大きい場合の漸近的挙動は既知の結果と整合的である。
• 先行研究では $t < |x|^2$ の範囲で下界と上界に異なる指数定数が用いられていたが、本研究では時間と空間の全域にわたる一様な境界に置き換えられ、鋭く一致する推定値が得られた。