[論文レビュー] HOD in inner models with Woodin cardinals

Sandra Müller, Grigor Sargsyan|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Advanced Topology and Set Theory被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、Π¹ₙ₊₂-決定性の下で、実数 x に対する n 個のウッドリン・カードナルをもつ標準的内部モデル Mn(x) と、Lévy の崩壊の一般化 g を用いた一般化拡大 Mn(x)[g] における、帰納的順序で定義可能な集合（HOD）が、Mn+1 の反復の直接極限である M∞ と、部分的反復戦略 Λ を用いて構成された細密構造的モデル Mn(M∞|δ∞, Λ) に一致することを確立している。この結果は、HODMn(x)[g] が GCH やその他の細密構造的原理を満たすことを裏付ける。

ABSTRACT

We analyze the hereditarily ordinal definable sets $\operatorname{HOD}$ in $M_n(x)[g]$ for a Turing cone of reals $x$, where $M_n(x)$ is the canonical inner model with $n$ Woodin cardinals build over $x$ and $g$ is generic over $M_n(x)$ for the L\'evy collapse up to its bottom inaccessible cardinal. We prove that assuming $\boldsymbol\Pi^1_{n+2}$-determinacy, for a Turing cone of reals $x$, $\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]} = M_n(\mathcal{M}_{\infty} | \kappa_\infty, \Lambda),$ where $\mathcal{M}_\infty$ is a direct limit of iterates of $M_{n+1}$, $\delta_\infty$ is the least Woodin cardinal in $\mathcal{M}_\infty$, $\kappa_\infty$ is the least inaccessible cardinal in $\mathcal{M}_\infty$ above $\delta_\infty$, and $\Lambda$ is a partial iteration strategy for $\mathcal{M}_{\infty}$. It will also be shown that under the same hypothesis $\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]}$ satisfies $\operatorname{GCH}$.

研究の動機と目的

• この論文は、決定性仮説の下で、ウッドリン・カードナルをもつ内部モデルにおける HOD の構造を調査する。
• HODMn(x)[g] が細密構造的モデルであるかどうか、特に GCH を満たすかどうかを特定することを目的とする。
• HODMn(x)[g] が Mn+1 の反復の直接極限に基づく標準的内部モデルとして特徴づけられるかどうかを研究する。
• 反復戦略と一般化拡大が HOD 構造を安定化させる役割を検討する。
• HODMn(x)[g] が、M∞ の標準的拡張 ̂M∞ と、κ∞ が ̂M∞ における δ∞ よりも大きな最小の不動点基数であるとき、HODMn(x)[g] = Mn( ̂M∞|κ∞, Λ) に等しいことを証明することを含む。

提案手法

• 分析では、Mn(x) 上で Col(ω, <κ) の Lévy の崩壊を用い、κ は Mn(x) 内の最小の不動点基数とする。
• Mn+1 の反復から直接極限モデル M∞ を構成し、M∞ 内の最小のウッドリン基数 δ∞ に注目する。
• 完全に背景付けられた拡張構成と比較技術を用いて、Mn(M∞|δ∞, F↾δ∞) と HODMn(x)[g] を比較する。
• 部分的反復戦略 Λ を、ΣM⁻ₙ₊₁ を ̂M∞|κ∞ 内の正しくガイドされた有限スタックに制限することで定義する。
• ブール値比較技術を用いて、特定の反復 R が、M∞ の ΣM⁻ₙ₊₁-反復および可算 n-適切なモデルの擬似正規反復であることを示す。
• 証明は、π∞↾δ∞ が ̂M∞|κ∞ と Λ から定義可能であること、および一般化と素性を用いて、HODMn(x)[g] と Mn( ̂M∞|κ∞, Λ) の等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Π¹ₙ₊₂-決定性の下で、HODMn(x)[g] は一般連続体仮説（GCH）を満たすか？
• RQ2 HODMn(x)[g] は、ある直接極限モデル M∞ と戦略 Λ に対して、標準的細密構造的モデル Mn(M∞|δ∞, Λ) に等しいか？
• RQ3 Mn(x)[g] 内の HOD 構造は、Mn+1 の反復の直接極限に基づくモデルとして特徴づけられるか？
• RQ4 M∞ 上の反復戦略 Λ は、HODMn(x)[g] の定義可能性にどのように関係するか？
• RQ5 一般化拡大 g は、HOD 構造を安定化させ、比較議論を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• Π¹ₙ₊₂-決定性の下で、HODMn(x)[g] = Mn(M∞|δ∞, Λ) が成り立ち、ここで M∞ は Mn+1 の反復の直接極限、Λ は部分的反復戦略である。
• モデル HODMn(x)[g] は、̂M∞ = Mn(M∞|δ∞) かつ κ∞ が ̂M∞ 内の δ∞ よりも大きな最小の不動点基数であるとき、Mn( ̂M∞|κ∞, Λ) に等しい。
• 反復戦略 Λ は HODMn(x)[g] 内で定義可能であり、π∞↾δ∞ は ̂M∞|κ∞ と Λ から定義可能である。
• HODMn(x)[g] は一般連続体仮説（GCH）を満たすとともに、♦ などの他の組合的原理も満たす。
• 等式 HODMn(x)[g] = Mn(M∞|δ∞, π∞↾δ∞) が成り立ち、これは HODMn(x)[g] = Mn( ̂M∞|κ∞, Λ) と同値である。
• 結果は、Mω や Mω+42 などの他の標準的自己反復内部モデルへ一般化可能であり、わずかな修正で成立する。