[論文レビュー] Holomorphic Deformations of Balanced Calabi-Yau $\partial\bar\partial$-Manifolds

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、平衡的ケーラーでないCalabi-Yau ∂̄∂̄-多様体—つまり、∂̄∂̄-補題を満たし、自明な正則な標準束と平衡的リーマン計量を持つコンパクト複素多様体—の共極化変形を導入する。これは古典的なケーラー極化変形論を拡張するものである。本稿では、Weil-Petersson計量と局所Torelli定理が、このより広い非ケーラー的文脈でも有効であることを確立し、∂̄∂̄-補題のみを用いて、このような多様体のKuranishi族の非障害性を証明する。

ABSTRACT

Given a compact complex $n$-fold $X$ satisfying the $\partial\bar\partial$-lemma and supposed to have a trivial canonical bundle $K_X$ and to admit a balanced (=semi-Kähler) Hermitian metric $ω$, we introduce the concept of deformations of $X$ that are {\bf co-polarised} by the balanced class $[ω^{n-1}]\in H^{n-1,\,n-1}(X,\,\C)\subset H^{2n-2}(X,\,\C)$ and show that the resulting theory of balanced co-polarised deformations is a natural extension of the classical theory of Kähler polarised deformations in the context of Calabi-Yau or even holomorphic symplectic compact complex manifolds. The concept of Weil-Petersson metric still makes sense in this strictly more general, possibly non-Kähler context, while the Local Torelli Theorem still holds.

研究の動機と目的

• 平衡的ケーラーでないCalabi-Yau ∂̄∂̄-多様体の変形論を構築し、古典的なケーラー極化変形論を一般化すること。
• Weil-Petersson計量と局所Torelli定理が、非ケーラー的∂̄∂̄-文脈でも有効であることを示すこと。
• Kuranishi族の非障害性を、∂̄∂̄-補題のみを用いて、Calabi-Yau ∂̄∂̄-多様体に対して証明すること。
• H^{n-1,n-1}(X, ℂ) 内の平衡的類 [ω^{n-1}] を用いた共極化変形の定義と研究を行うこと。
• 小さな正則的変形および変形に関して、平衡的 ∂̄∂̄-性質の安定性を確立すること。

提案手法

• 変形不変量として、Dolbeaultコホモロジー類 [ω^{n-1}] ∈ H^{n-1,n-1}(X, ℂ) を固定することにより、共極化変形の概念を導入する。
• ∂̄∂̄-補題を適用し、非ケーラー的Calabi-Yau多様体へBogomolov-Tian-Todorov定理を一般化する。
• Wuの変形開性結果を用いて、小さな正則的変形において平衡的 ∂̄∂̄-性質が保存されることを示す。
• 局所正則座標と ω^{n-1} における収縮および ∂̄-作用の明示的計算を用い、付録で恒等式を検証する。
• ∂̄∂̄-補題によって誘導されるDe RhamコホモロジーとDolbeaultコホモロジーの標準的同型を用いる。
• Kuranishi族の構成を適用し、ケーラーまたはクラス 𝒞 条件を仮定せず、∂̄∂̄-補題のみを用いて非障害性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なケーラー極化変形論は、非ケーラー的で平衡的Calabi-Yau ∂̄∂̄-多様体へ拡張可能か？
• RQ2 Weil-Petersson計量は、∂̄∂̄-非ケーラー的文脈でも意味を持ち、幾何学的に重要か？
• RQ3 局所Torelli定理は、平衡的ケーラーでないCalabi-Yau ∂̄∂̄-多様体に対しても成立するか？
• RQ4 Kuranishi族の非障害性は、ケーラーまたはクラス 𝒞 を仮定せず、∂̄∂̄-補題のみを用いて確立可能か？
• RQ5 複素構造の正則的変形の下で、コホモロジー類 [ω^{n-1}] はどのように振る舞うか？

主な発見

• Calabi-Yau ∂̄∂̄-多様体のKuranishi族は非障害的であり、その基底空間は H^{0,1}(X, T^{1,0}X) の開部分集合と局所的に同型である。
• Weil-Petersson計量は、∂̄∂̄-多様体の平衡的共極化変形の文脈で適切に定義され、意味を持つ。
• 局所Torelli定理は、平衡的ケーラーでないCalabi-Yau ∂̄∂̄-多様体に対して成立し、複素構造がホッジ構造によって局所的に決定されることを示唆する。
• 小さな正則的変形の下で、平衡的類 [ω^{n-1}] ∈ H^{n-1,n-1}(X, ℂ) は不変のまま保たれ、共極化が保存されることを保証する。
• ∂̄∂̄-補題のみで、Bogomolov-Tian-Todorov定理を非ケーラー的Calabi-Yau多様体へ一般化できる。
• 小さな正則的変形に関して、平衡的 ∂̄∂̄-多様体の変形論は開いている。これは、Wuの結果を共極化設定へ拡張するものである。