[論文レビュー] Holomorphic extension from a convex hypersurface

Luca Baracco|ArXiv.org|Nov 8, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{C}^n$ 内の厳密に凸な領域の境界上で定義された実解析関数の全純拡張の十分条件を、定常円板の族を用いて確立する。主な結果は、固定された定常円板の被覆が、有限個の $(2n-2)$-パラメータ族の定常円板の被覆によって覆われるならば、関数が領域全体に全純に拡張可能であることを示している。

ABSTRACT

We discuss a general result of holomorphic extension of a real analytic function $f$ defined on the boundary $\partial D$ of a real analytic strictly convex subset $D\subset\subset \C^n$. We show that this follows from the hypothesis of separate holomorphic extension along stationary/extremal discs.

研究の動機と目的

• $\ mathbb{C}^n$ 内の厳密に凸な領域の境界から定義された実解析関数の全純拡張に関する一般的基準を確立すること。
• 全純拡張を保証する最小のテスト用定常円板族を特定すること。
• CR幾何学と有理型な被覆が拡張過程に果たす役割を明確にすること。
• 内部または境界上の点を通る円板族を用いた明示的な十分条件を提供すること。

提案手法

• この手法は、Lempertの意味での定常円板の理論に依拠しており、射影化された余接束への有理型被覆を持つ全純円板を指す。
• $\ mathbb{C}^n$ 内部の各点は、それらを通る一意の定常円板を持ち、被覆写像は射影化された余接束から被覆空間への実解析的微分同相写像である。
• 関数 $f$ は、各族に属する円板の被覆の和集合上でのCR関数 $F$ に引き上げられる。これは、$\ mathbb{P}T^*\mathbb{C}^n$ 内で被覆が重複しないという事実を利用している。
• 有界性と解析性を満たす引き上げられた関数を用いて、コーシー積分公式により円板に沿って全純拡張が伝播する。
• 鍵となるステップは、引き上げられた関数 $F$ が固定された定常円板の被覆全体の近傍に全純に拡張可能であることを示すことであり、その後、$D$ 上の射影化された余接束全体に拡張可能であることを示す。
• 最終的に、$F$ がコーシー積分と同一視されることで、$f$ を拡張する$D$ 上の全純関数が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\ mathbb{C}^n$ 内の厳密に凸な領域の境界上に定義された実解析関数が、その内部に全純に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 すべての可能な円板ではなく、定常円板の族のみを用いて全純拡張をテストできるか？
• RQ3 全純拡張を保証するのに十分な、定常円板族の最小サイズ（パラメータ数）は何か？
• RQ4 定常円板の被覆上のCR構造は、拡張過程にどのように寄与するか？
• RQ5 単一の境界点または二つの内部点を通る円板族を用いて、拡張を保証できるか？

主な発見

• 実解析関数 $f$ が、有限個の $(2n-2)$-パラメータ族の定常円板に沿って全純に拡張可能ならば、$f$ は $D$ に全純に拡張可能である。
• これらの円板の被覆は、固定された定常円板 $A_o^*$ の被覆を覆い、被覆条件により全般にわたる全純拡張が伝播可能である。
• 関数 $f$ が $D$ の二つの内部点を通るすべての定常円板に沿って全純に拡張可能ならば、$f$ は $D$ に全純に拡張可能である。
• 関数 $f$ が単一の境界点を通るすべての定常円板に沿って全純に拡張可能ならば、$f$ は $D$ に全純に拡張可能である。ただし、その族は境界点で特異性を示す可能性がある。
• 引き上げられた関数 $F$ は、族の正則部分上でCR関数であり、固定された円板の被覆の全近傍に全純に拡張可能である。
• 最終的な$D$ 上の全純関数は、引き上げられた関数をコーシー積分と同一視することにより得られ、これにより関数はファイバー座標に依存せず、結局は$z$ のみの関数となる。