[論文レビュー] Homogeneous distributions on finite dimensional vector spaces

Huajian Xue|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所体 F 上の有限次元ベクトル空間 V 上の χ-不変な緩やかな分布の空間の GL(V) としての構造を決定する。双対性と退化型標準的表現を用いて、この空間が、χ が特定の文字の集合に属さない限りは既約であることが示され、χ がその集合に属する場合には長さ 2 で、唯一の既約部分表現をもつ。主な貢献は、文字 χ に基づくこれらの表現の完全な分類である。

ABSTRACT

Let $V$ be a finite dimensional vector space over a local field $F$. Let $χ: F^ imes ightarrow \mathbb C^ imes$ be an arbitrary character of $F^ imes$. We determine the structure of the natural representation of $\mathrm{GL}(V)$ on the space $\mathcal{S}^*(V)^χ$ of $χ$-invariant distributions on $V$.

研究の動機と目的

• 局所体 F 上の有限次元ベクトル空間 V 上の χ-不変な緩やかな分布の空間が GL(V) としての構造を理解すること。
• この分布空間が、文字 χ に応じて既約であるか長さ 2 であるかを特定すること。
• 緩やかな関数の正規化された余不変空間との間に双対性を確立すること。
• 文字 χ と体 F に応じて、表現の型（既約または長さ 2）を分類すること。

提案手法

• シュワーツ関数への自然な GL(V)-作用の双対化により、正規化された余不変空間の双対を通じて、χ-不変な緩やかな分布の空間を研究する。
• χ-不変な分布の空間は、具体的には $ \mathcal{S}_{\chi^{-1} \cdot |\cdot|_F^{-n/2}}(V)^* \otimes |\det|_F^{-1/2} $ として、退化型標準的表現の双対と同一視される。
• 写像 $ \mathrm{j}_\chi: \mathcal{S}_\chi(V\setminus\{0\}) \to \mathcal{S}_\chi(V) $ は、$ \mathcal{S}(V\setminus\{0"}) \hookrightarrow \mathcal{S}(V) $ の埋め込みから構成される GL(V)-交換写像である。
• 同型 $ \mathcal{S}_\chi(V\setminus\{0\}) \cong \mathrm{Ind}_{P(v_0)}^{GL(V)} \chi \otimes 1 $ を用いて、この空間を退化型標準的表現として特定する。
• 分類は、$ \mathrm{Ind}_{P}^{GL(V)}(\chi \otimes 1) $ の構造に依存しており、これは χ が $ \mathrm{C}^+(n) \cup \mathrm{C}^-(n) $ に属さない限り既約である。ここで $ \mathrm{C}_F $ は F から C への埋め込みによって生成されるモノイドである。
• 証明は、完全列と双対性を用いて $ \mathrm{j}_\chi $ の核と余核を解析し、表現構造の分類に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 V 上の χ-不変な緩やかな分布の空間が GL(V)-表現として既約であるのはいつか？
• RQ2 χ が $ \mathrm{C}^+(n) \cup \mathrm{C}^-(n) $ に属するとき、表現 $ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ の構造はいかなるものか？
• RQ3 $ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ の GL(V)-作用が退化型標準的表現にどのように分解されるか？
• RQ4 文字 χ は $ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ の長さと既約性を決定づける上で果たす役割は何か？
• RQ5 $ \mathcal{S}_\chi(V) $ と $ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ の間の双対性は、余不変空間の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 体 F 上の局所体 F に対して、$ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ は、χ が $ \mathrm{C}^+(n) \cup \mathrm{C}^-(n) $ に属さない限り、GL(V)-表現として既約である。ここで $ \mathrm{C}_F $ は F から C への埋め込みによって生成されるモノイドである。
• χ ∈ $ \mathrm{C}^+(n) $ のとき、$ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ は既約であるが、写像 $ \mathrm{j}_\chi $ の核は退化型標準的表現において無限次元の余次元を持つ。
• χ ∈ $ \mathrm{C}^-(n) $ のとき、$ \mathcal{S}^*(V)^\chi $ は長さ 2 であり、唯一の既約部分表現を含む。
• $ \mathrm{j}_\chi $ の余核は、$ \sigma_{V,\chi^{-1} \cdot |\cdot|_F^{-n/2}} $ の双対と同型であり、これは χ ∈ $ \mathrm{C}^-(n) $ のときにのみ非ゼロである。
• $ \mathcal{S}_\chi(V\setminus\{0\}) $ は、退化型標準的表現 $ \mathrm{Ind}_{P(v_0)}^{GL(V)} \chi \otimes 1 $ と同型であり、これは χ ∈ $ \mathrm{C}^+(n) \cup \mathrm{C}^-(n) $ でない限り既約である。
• 分類は体 F に依存する：F = ℝ のとき $ \mathrm{C}_F $ は恒等埋め込みのべきで構成される。F = ℂ のとき、恒等と複素共役のべきが含まれる。非アーチメデス的 F のとき $ \mathrm{C}_F = \{1\} $ である。