[論文レビュー] Homogeneous geodesics of left invariant Finsler metrics

Dariush Latifi|ArXiv.org|Nov 28, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リー群上の左不変Finsler計量における測地的ベクトルの基準を確立し、一様測地線の特徴付けを可能にする。左不変Randers計量がBerwald型であるための必要十分条件を導出し、一様測地線を制限されたFinsler計量の臨界点に関連づけ、一般条件下でその存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we study the set of homogeneous geodesics of a leftinvariant Finsler metric on Lie groups. We first give a simple criterion that characterizes geodesic vectors. As an application, we study some geometric properties of bi-invariant Finsler metrics on Lie groups. In particular a necessary and sufficient condition that left-invariant Randers metrics are of Berwald type is given. Finally a correspondence of homogeneous geodesics to critical points of restricted Finsler metrics is given. Then results concerning the existence homogeneous geodesics are obtained.

研究の動機と目的

• リー群上の左不変Finsler計量における測地的ベクトルを特定する基準を開発すること。
• 双不変Finsler計量の幾何的性質およびそれらの一様測地線を調査すること。
• 左不変Randers計量がBerwald型であるための必要十分条件を特定すること。
• 一様測地線と制限されたFinsler計量の臨界点との間の対応関係を確立すること。
• 左不変Finsler多様体における一様測地線の存在を証明すること。

提案手法

• 引き戻し接ベクトル束上のChern接続を用いて、基準ベクトルを用いた共変微分を定義し、Finsler測地線方程式を定式化する。
• 基準ベクトル $ T $ を用いて条件 $ D_T T = 0 $ を適用し、Finsler速度の定数パrameter化を保証することで、Finsler測地線を特徴付ける。
• 基本テンソルを表すための計量テンソル $ g_y(u,v) = \frac{1}{2} \frac{\nabla^2}{\nabla s \nabla t} F^2(y + su + tv) \big|_{s=t=0} $ を導出する。
• 定理3.2を適用して、すべての $ z \neq 0 $ に対して $ g_y(y, [y,z]) = 0 $ という条件により、測地的ベクトルを特定する。これにより、測地的ベクトルはリー代数構造と関連づけられる。
• Randers計量の基本テンソルを計算するための式 $ g_y(u,v) = \tilde{a}(u,v) + \tilde{a}(X,u)\tilde{a}(X,v) + \text{terms involving } \tilde{a}(y,y)^{-1/2} $ を用いる。
• 測地的ベクトル条件を構造定数 $ \beta, \beta, \beta $, および $ \beta $ を含む代数方程式系に還元し、3次元リー群における明示的分類を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群上の左不変Randers計量がBerwald型であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 リー代数構造を用いて、左不変Finsler計量における測地的ベクトルをどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 一様測地線と制限されたFinsler計量の臨界点との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 左不変Finsler計量が一様測地線をもつための条件は何か？
• RQ5 双不変Finsler計量の幾何的性質は、それらの一様測地線とどのように関連しているか？

主な発見

• 左不変Randers計量がBerwald型であるための必要十分条件は、測地的ベクトル条件から導かれるように、ベクトル場 $ X $ がリーマン計量 $ \tilde{a} $ に関して平行であることである。
• 構造定数 $ \beta = \beta = \beta $ の単模3次元リー群では、すべての測地的ベクトルは $ \text{Span}\big\{ e_1 \big\} $ に含まれ、したがって一様測地線は1本に限る。
• 構造定数 $ \beta = 0 $ の非単模3次元リー群では、測地的ベクトルは $ \text{Span}(e_1, e_3) $ に制限される。$ \beta \neq 0 $ の場合、測地的ベクトルは $ \text{Span}(e_1) \bigcup \text{Span}(e_3) \bigcup \text{Span}(\frac{\beta}{2}e_2 - e_3) $ に含まれる。
• 一様測地線の集合は、制限されたFinsler計量 $ F|_{\text{span}(y)} $ の臨界点と一対一対応し、変分的特徴付けが確立される。
• 任意のリー群上の左不変Finsler計量は、少なくとも1本の一様測地線をもつ。これは、KowalskiとSzentheの結果をFinsler設定に拡張したものである。
• すべての $ z \neq 0 $ に対して $ g_y(y, [y,z]) = 0 $ であることは、$ y $ が測地的ベクトルであるための必要十分条件であり、識別に実用的な基準を提供する。