[論文レビュー] Homogeneous spaces and equivariant embeddings

Dmitri A. Timashev|ArXiv.org|Feb 10, 2006

Advanced Algebra and Geometry被引用数 9

ひとこと要約

この包括的なサーベイは、再帰的代数群の同次空間の不変埋め込みの理論を発展させ、複雑性、ランク、評価値の錐といった組合せ的不変量を用いた分類に焦点を当てる。Luna-Vust理論、B-チャート、不変評価値を用いた体系的な枠組みを確立し、球面的および低複雑性の多様体の埋め込みの分類に至る。応用分野は代数幾何学、表現論、不変量論に及ぶ。

ABSTRACT

This is a draft of a monograph to appear in the Springer series "Encyclopaedia of Mathematical Sciences", subseries "Invariant Theory and Algebraic Transformation Groups". The subject is homogeneous spaces of algebraic groups and their equivariant embeddings. The style of exposition is intermediate between survey and detailed monograph: some results are supplied with detailed proofs, while the other are cited without proofs but with references to the original papers. The content is briefly as follows. Starting with basic properties of algebraic homogeneous spaces and related objects, such as induced representations, we focus the attention on homogeneous spaces of reductive groups and introduce two important invariants, called complexity and rank. For the embedding theory it is important that homogeneous spaces of small complexity admit a transparent combinatorial description of their equivariant embeddings. We consider the Luna-Vust theory of equivariant embeddings, paying special attention to the case of complexity not greater than one. A special chapter is devoted to spherical varieties (= embeddings of homogeneous spaces of complexity zero), due to their particular importance and ubiquity. A relation between equivariant embedding theory and equivariant symplectic geometry is also discussed. The book contains several classification results (homogeneous spaces of small complexity, etc). The text presented here is not in a final form, and the author will be very grateful to any interested reader for his comments and/or remarks, which may be sent to the author by email.

研究の動機と目的

• 再帰的代数群の代数的同次空間に対するG-不変埋め込みの一般理論を構築すること。
• 複雑性、ランク、評価値の錐といった組合せ的不変量を用いて埋め込みを分類すること。
• アフィン性、射影性、除集合、交線論を含む埋め込みの幾何的性質を研究すること。
• 球面的および水平的多様体を自然なクラスとして特定・特徴づけ、取り扱いやすい幾何を有するものとして同定すること。
• 代数幾何学、不変量論、表現論の問題に理論を応用すること。具体的にはフロベニウス分割とコホモロジー的実現を含む。

提案手法

• G-不変埋め込みのLuna–Vust理論を用い、埋め込みを色付きのファンと組合せ的データで符号化する。
• Borel部分群を用いて埋め込みの構造を記述するための局所的モデルとしてB-チャートを導入する。
• G-評価値、評価値の錐、Little Weyl群を含む不変評価値論を適用し、軌道構造を分析する。
• 形式的およびスケマティックな点、特にk((t))-点とt-進位相を用いて曲線の極限と収束を研究する。
• Artinの近似定理を適用し、形式的ジェルムと実際の曲線を関連づけ、t-進位相における幾何的近似を可能にする。
• 局所構造定理を用いて、特に複雑性0および1の場合に、全般的な問いを軌道の近くの局所的データに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた同次空間G/HのすべてのG-不変埋め込みを、組合せ的不変量を用いてどのように分類できるか？
• RQ2 複雑性とランクは、埋め込みの幾何的および表現論的性質を決定づける役割を果たすか？
• RQ3 評価値の錐とG-評価値は、埋め込みにおける軌道閉包と特異点の構造をどのように制御するか？
• RQ4 球面的および水平的多様体は、同次空間のクラスの中でどのように特徴づけられるか？それらの埋め込みにはどのような相違があるか？
• RQ5 形式的曲線とスケマティックな点は、埋め込みの位相的および幾何的性質を研究するために、どのような意味で有用か？

主な発見

• G-モデルの分類はLuna–Vust理論によって達成され、各埋め込みに軌道と除集合を符号化する色付きのファンが関連付けられる。
• 複雑性0の場合、埋め込みは色付きの錐によって完全に分類され、理論は球面的多様体の理論に還元される。
• 評価値の錐はすべてのG-評価値をパラメトライズし、不変幾何の構造を制御する。Little Weyl群は対称性群として作用する。
• B-チャートの理論は、埋め込みの局所的モデルを提供し、Borel部分群を用いて全空間の構造を記述可能にする。
• 形式的曲線とk((t))-点は、X(k((t)))におけるt-進位相で稠密であり、代数的曲線による幾何的対象の近似が可能になる。
• 理論はフロベニウス分割に応用可能であり、多くのG-不変埋め込みがフロベニウス分割可能であることが示され、コホモロジーおよび表現論に強い帰結をもたらす。