[論文レビュー] Homogenization of Elliptic Systems with Neumann Boundary Conditions

Carlos E. Kenig, Fanghua Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2010

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、係数が急激に周期的である場合に、$C^{1,\alpha}$ 域における2階楕円型系のノイマン境界条件付き解について、$\varepsilon$-に依存しない鋭い正則性評価を確立する。層ポテンシャル技法とホモジゼーション理論を用いて、係数行列の対称性と滑らかさの仮定の下で、一様な $W^{1,p}$、リプシッツ、および非接続的最大関数評価を証明する。

ABSTRACT

The main purpose of this work is to study uniform regularity estimates for a family of elliptic operators $\{\mathcal{L}_\varepsilon, \varepsilon>0\}$, arising in the theory of homogenization, with rapidly oscillating periodic coefficients. We establish sharp $W^{1,p}$ estimates, Lipschitz estimates, and nontangential maximal function estimates, which are uniform in the parameter $\varepsilon$, on solutions with Neumann boundary conditions in $C^{1,α}$ domains.

研究の動機と目的

• 迅速に周期的である係数を有するノイマン境界値問題の解について、一様な $W^{1,p}$ 評価を確立すること。
• データに対称性および Hölder 正則性の仮定がある場合に、解のリプシッツ評価を導出すること。
• 平均値がゼロのデータを有する $L^p$ 空間における解について、一様な非接続的最大関数評価を証明すること。
• 振動する系の層ポテンシャル作用素が、スケールパrameter $\varepsilon$ に依存しないノルムで可逆であることを示すこと。
• 密度関数の一様 $L^p$ 有界性を証明することで、古典的な積分方程式法を不均質な設定に拡張すること。

提案手法

• 解析は、作用素 $\mathcal{L}_\varepsilon$ に関連する単層および双層ポテンシャルを用いる層ポテンシャル法に依存する。
• $L^p_0(\partial\Omega)$ 上での作用素 $\frac{1}{2}I + \mathcal{K}_{A,\varepsilon}$ および $-\frac{1}{2}I + \mathcal{K}^*_{A^*,\varepsilon}$ の可逆性は、$L^p$ ノイマン問題および正則性問題の一様可解性によって確立される。
• 証明は、$C^{1,\alpha}$ 域では $L^p$ ノイマン問題および正則性問題が一様な評価を伴って可解であり、既知の $L^2$ 結果を拡張できることを用いる。
• 著者らは係数行列の対称性条件 $A^*=A$ を用いて、層ポテンシャル作用素の自己随伴性を保証し、境界を越えるジャンプ関係を制御する。
• 基本解 $\Gamma_{A,\varepsilon}$ 及びその正則性性質を、$A$ の強楕円性、周期性、Hölder 連続性の仮定の下で用いて、主要な評価を導出する。
• 層ポテンシャル作用素の逆作用素に対する一様有界性が、解の勾配および非接続最大関数に対する一様評価に転送される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^{1,\alpha}$ 域において、迅速に周期的である係数を有するノイマン問題について、一様な $W^{1,p}$ 評価を確立できるか。
• RQ2 Hölder 連続なデータに対して、解の勾配が $L^\infty$ で一様に有界であるのはどのような条件下か。
• RQ3 $L^p$ ノイマンデータを有する解について、勾配の非接続最大関数が $L^p$ 空間で一様な $L^p$ 範囲を満たすか。
• RQ4 振動する系の層ポテンシャル作用素が、すべてのスケール $\varepsilon>0$ において $L^p$ 空間で一様に可逆であるか。
• RQ5 古典的な積分方程式法は、周期的係数を有する楕円型系に拡張可能であり、$\varepsilon$ に一様な評価を伴うか。

主な発見

• $W^{1,p}$ 評価 $\|\nabla u_\varepsilon\|_{L^p(\Omega)} \leq C\big(\|f\|_{L^p(\Omega)} + \|F\|_{L^q(\Omega)} + \|g\|_{B^{-1/p,p}(\partial\Omega)}\big)$ は、$p > \frac{d}{d-1}$ のとき $q = \frac{pd}{p+d}$ として、$\varepsilon$ に依存しない一様性を有する。
• $g \in C^\eta(\partial\Omega)$ および $F \in L^q(\Omega)$ で $q > d$ のとき、リプシッツ評価 $\|\nabla u_\varepsilon\|_{L^\infty(\Omega)} \leq C\big(\|g\|_{C^\eta(\partial\Omega)} + \|F\|_{L^q(\Omega)}\big)$ は $\varepsilon$ に依存しない一様性を有する。
• 非接続最大関数評価 $\|( abla u_\varepsilon)^*\|_{L^p(\partial\Omega)} + \|\nabla u_\varepsilon\|_{L^q(\Omega)} \leq C\|g\|_{L^p(\partial\Omega)}$ は $q = \frac{pd}{d-1}$ として、$\varepsilon$ に依存しない一様性を有する。
• 層ポテンシャル作用素 $\frac{1}{2}I + \mathcal{K}_{A,\varepsilon}$ および $-\frac{1}{2}I + \mathcal{K}^*_{A^*,\varepsilon}$ は、それぞれ $L^p_0(\partial\Omega)$ および $L^p(\partial\Omega)$ 上で可逆であり、作用素ノルムは $\varepsilon$ に依存しない一様有界性を有する。
• $\mathcal{L}_\varepsilon u_\varepsilon = 0$ の $L^p$ ディリクレ問題、ノイマン問題、正則性問題の解は、密度関数が一様に $L^p$ 有界である層ポテンシャル表現を有する。