[論文レビュー] Homogenization of immiscible compressible two--phase flow in random porous media

Brahim Amaziane, Leonid Pankratov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 41被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、確率的二尺度収束を用いて、ランダムに統計的に一様な多孔質媒体における不混和性圧縮性二相流の均質化を確立する。水および圧縮性ガス（例えば水素）の流れに対する有効なマクロスケール方程式を導出し、現実的なランダムなミクロ構造下での解の収束を証明する。核廃棄物埋設施設のモデリングにおける毛管圧力および重力効果に関する重要な結果を提示する。

ABSTRACT

The paper deals with homogenization of a model problem describing an immiscible compressible two-phase flow in random statistically homogeneous porous media. We derive the effective (macroscopic) problem and prove the convergence of solutions. Our approach relies on stochastic two-scale convergence techniques, the realization-wise notion of stochastic two-scale convergence being used. Also, we exploit various a priori estimates as well as monotonicity and compactness arguments.

研究の動機と目的

• 不均一な多孔質媒体に含まれるランダムに統計的に一様なミクロ構造を有する圧縮性不混和性二相流をモデル化し、有効なマクロスケール方程式を導出すること。
• 自然の地質的構造に特徴的な現実的なランダムなミクロ構造を組み込むことにより、周期的均質化の限界を克服すること。
• 確率的二尺度収束を用いて、微視的解が有効なマクロスケール問題に収束することを厳密に証明すること。
• 核廃棄物埋設施設における水素移動の文脈で、毛管圧力、重力、およびガス相の圧縮性を考慮すること。
• 一般のランダムでエルゴード的なミクロ構造下で、均質化系の弱解の存在性と正則性を確立すること。

提案手法

• 多孔質媒体内のランダムでエルゴード的なミクロ構造を扱うために、実現ごとのアプローチを用いた確率的二尺度収束を採用する。
• 不圧縮性湿相（水）と圧縮性ガス相（水素）を有する二相流モデルを用い、対流拡散方程式に従う。
• 非線形性を制御するため、事前推定、単調性、コンパクト性の議論を適用する。
• 微視的問題の弱形式において二尺度極限に移行することで、有効なマクロスケール方程式を導出する。
• 運動量方程式における非線形項を通じて、毛管圧力と重力を組み込む。
• 速度場および圧力場の確率的二尺度極限を用いて、正規化項を特定することで、有効フラックスの形を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムで統計的に一様なミクロ構造を有する多孔質媒体における圧縮性不混和性二相流の均質化を、どのように厳密に導出できるか。
• RQ2 このような流れにおける有効なマクロスケール方程式の構造は何か。毛管圧力および重力効果は、均質化系にどのように現れるか。
• RQ3 確率的二尺度収束を用いることで、周期的でないランダムなミクロ構造において、収束の証明がどのように古典的周期的均質化と異なって実現されるか。
• RQ4 ガス相の圧縮性および相対透過度の非線形性が、均質化プロセスに果たす役割は何か。
• RQ5 ランダムなミクロ構造下で、境界条件および初期条件は、均質化極限においてどのように保存されるか。

主な発見

• ランダムに統計的に一様なミクロ構造を有する多孔質媒体における圧縮性二相流の有効マクロスケール問題が厳密に導出され、解の収束が確率的二尺度収束によって確立された。
• 有効フラックスには、毛管圧力、重力、圧縮性の寄与が含まれており、正規化項は明示的に $\theta_g = \boldsymbol{\xi}(\omega)\left[\lambda_g(\widehat{S})\nabla\widehat{\mathsf{P}} + \nabla\beta(\widehat{S}) - \lambda_g(\widehat{S})\varrho_g(\widehat{\mathsf{P}} + \mathsf{G}_g(\widehat{S}))\right]$ として特定された。
• 速度場および圧力場の収束が確率的二尺度収束の意味で証明され、ガス体積分率 $\widehat{S} = 1$ のとき、主要な項が $L^2$ で強い収束を示す。
• 均質化系は、元の問題の物理的構造を保ち、相対透過度および圧縮性に起因する非線形性を反映している。
• 本手法により、周期的媒体に限らない均質化理論がランダムに統計的に一様な媒体へと拡張され、核廃棄物埋設施設モデリングにおいてより現実的なフレームワークを提供した。
• 境界条件および初期条件が、均質化極限において保存されることを示し、マクロスケールモデルの物理的整合性を保証した。