[論文レビュー] Homogenization of initial boundary value problems for parabolic systems with periodic coefficients

Yu. M. Meshkova, T. A. Suslina|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2015

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ひとこと要約

本稿は、有界領域における周期的係数をもつ放物型系の均質化に関して、鋭い作用素誤差推定を確立する。半群 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ が $ L^2 $-作用素ノルムにおいて $ O(\varepsilon) $ の誤差で均質化半群 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $ に収束することを証明し、固定された $ t > 0 $ に対して、補正項を含む $ O(\varepsilon^{1/2}) $ の近似が $ (L^2 \to H^1) $-ノルムで成り立つ。これらの結果は、放物型系の初期境界値問題に応用される。

ABSTRACT

Let $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^{1,1}$. In the Hilbert space $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, we consider matrix elliptic second order differential operators $\mathcal{A}_{D,\varepsilon}$ and $\mathcal{A}_{N,\varepsilon}$ with the Dirichlet or Neumann boundary condition on $\partial \mathcal{O}$, respectively. Here $\varepsilon>0$ is the small parameter. The coefficients of the operators are periodic and depend on $\mathbf{x}/\varepsilon$. The behavior of the operator $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$, $†=D,N$, for small $\varepsilon$ is studied. It is shown that, for fixed $t>0$, the operator $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$ converges in the $L_2$-operator norm to $e^{-\mathcal{A}_†^0 t}$, as $\varepsilon o 0$. Here $\mathcal{A}_†^0$ is the effective operator with constant coefficients. For the norm of the difference of the operators $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$ and $e^{-\mathcal{A}_†^0 t}$ a sharp order estimate (of order $O(\varepsilon)$) is obtained. Also, we find approximation for the exponential $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$ in the $(L_2 ightarrow H^1)$-norm with error estimate of order $O(\varepsilon ^{1/2})$; in this approximation, a corrector is taken into account. The results are applied to homogenization of solutions of initial boundary value problems for parabolic systems.

研究の動機と目的

• 有界な $ C^{1,1} $ 域における周期的係数をもつ放物型系の均質化を研究すること。
• 半群 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ がその均質化極限 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $ に収束する際の作用素ノルム誤差推定を確立すること。
• 固定された $ t > 0 $ に対して、$ L^2 $-および $ H^1 $-作用素ノルムにおける鋭い誤差境界を導出すること。
• $ (L^2 \to H^1) $-ノルムにおける誤差推定を改善するための補正項を組み込むこと。
• 結果を周期的係数をもつ放物型系の初期境界値問題の均質化に応用すること。

提案手法

• スケーリング、Floquet-Bloch理論、解析的摂動論に基づく作用素論的アプローチによる均質化。
• $ \mathbf{x}/\varepsilon $ に依存する周期的係数をもつ行列楕円型2階微分作用素 $ \mathcal{A}_{D,\varepsilon} $ および $ \mathcal{A}_{N,\varepsilon} $ の分析。
• リゾルベント推定とスペクトル論を用いて、$ \varepsilon \to 0 $ のときの半群 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ の収束推定の導出。
• $ (L^2 \to H^1) $-ノルムにおける近似を改善するための補正項 $ \varepsilon \mathcal{K}(t;\varepsilon) $ の構成。
• 領域 $ \mathcal{O} $ における境界効果を制御するための切り捨て関数および分割単位を用いた局所化推定。
• 重み付き $ L^2 $-ノルムと補間技法を用いて、解およびその微分の正則性を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \varepsilon \to 0 $ のとき、半群 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ は $ L^2 $-作用素ノルムにおいてどのようにその均質化極限 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $ に収束するか？
• RQ2 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ と $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $ の近似における $ L^2 $-作用素ノルムにおける誤差の鋭い次数は何か？
• RQ3 補正項が $ (L^2 \to H^1) $-ノルムにおける収束速度を改善できるか？ もしそうならば、最良の誤差境界は何か？
• RQ4 誤差推定は時間パラメータ $ t $ にどのように依存するか？ また、$ t $ が小さいときの振る舞いは？
• RQ5 これらの結果は、周期的係数をもつ放物型系の初期境界値問題にどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• $ \varepsilon \to 0 $ のとき、作用素 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ は $ L^2 $-作用素ノルムにおいて $ O(\varepsilon) $ の誤差で $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $ に収束する。
• 差 $ \|e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} - e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t}\|_{L^2 \to L^2} $ に対して鋭い $ O(\varepsilon) $ の誤差推定が確立され、これは $ t > 0 $ に対して一様で、次数的に鋭い。
• 補正項を含む近似により、$ t \geq \varepsilon^2 $ のとき $ (L^2 \to H^1) $-ノルムで $ O(\varepsilon^{1/2}) $ の誤差境界が得られる。
• 補正項 $ \varepsilon \mathcal{K}(t;\varepsilon) $ は明示的に構成され、$ \mathbf{x}/\varepsilon $ の高速振動関数に依存する。
• 誤差推定は時間に対して一様であり、ドメインの幾何構造、楕円的定数、係数行列の $ L^\infty $-ノルムに明示的に依存する。
• 結果は、周期的係数をもつ放物型系の初期境界値問題の解の均質化に応用される。