[論文レビュー] Homological mirror symmetry with higher products

Alexander Polishchuk|ArXiv.org|Jan 6, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 48

ひとこと要約

この論文は、複素幾何側にホロモルフィックベクトル束にヒルベルト計量を備えた調和形式を用いて、有界なコherent層の導来カテゴリを精緻化した$A_{\infty}$-カテゴリを構成することで、ホモロジカルミラー対称性を拡張する。楕円曲線の場合、複素幾何側とシミプレクティック側の三重積が自然にホモトピー同値であることを証明し、一般化された予想の部分的検証を提供する。

ABSTRACT

We construct an $A_{\infty}$-structure on the Ext-groups of hermitian holomorphic vector bundles on a compact complex manifold. We propose a generalization of the homological mirror conjecture due to Kontsevich. Namely, we conjecture that for mirror dual Calabi-Yau manifolds $M$ and $X$ there exists an $A_{\infty}$-functor from Fukaya's symplectic $A_{\infty}$-category of $M$ to the $A_{\infty}$-derived category of $X$ which is a homotopy equivalence on morphisms. We verify the part of this conjecture concering triple products for elliptic curves.

研究の動機と目的

• コンテスヴィッチの元々のホモロジカルミラー対称性予想における非対称性を解消する。この予想は、シミプレクティック側に$A_{\infty}$-カテゴリを、複素幾何側に標準的な導来カテゴリを比較している。
• ヒルベルト計量を備えた$\operatorname{Ext}$-群の調和代表元を用いて、複素幾何側に明確に定義された$A_{\infty}$-カテゴリ$\mathcal{D}^{b}_{\infty}(X)$を構成する。
• 両側に$A_{\infty}$-カテゴリを含む対称的なホモロジカルミラー対称性予想を、$A_{\infty}$-ファンクターを介して定式化する。
• 楕円曲線という非自明な場合において、複素幾何的構造とシミプレクティック的構造からの三重積を比較することで、この一般化された予想を検証する。
• 複素幾何側の$A_{\infty}$-構造における高次積が、調和形式が積に関して閉じていないことの障害を測定することを確立し、かつそれらが循環的対称性を満たすことを示す。

提案手法

• ホロモルフィックベクトル束にヒルベルト計量を備えた有界複体の$A_{\infty}$-カテゴリ$\mathcal{D}^{b}_{\infty}(X)$を定義し、射は$(0,q)$-調和形式によって表現される。
• ホモロジー的摂動理論を用いて、$m_1 = 0$、$m_2$が合成、高次積$m_k$が積の調和性の障害を符号化する$A_{\infty}$-構造を構成する。
• メルコフと他の研究者による、$dg$-代数にホモトピー同値な部分複体に$A_{\infty}$-構造を構成する方法を適用し、標準的な$dg$-バージョンの導来カテゴリと$A_{\infty}$-同値性を保証する。
• ホモロジー的摂動理論を用いて、計量の選択に依存しない$A_{\infty}$-構造がホモトピー同値性の意味で不変であることを証明する。
• $A_{\infty}$-公理を用いて、横断的三重積を基本的なものに再帰的に表現し、単値マッセイ積に帰着させる。
• 楕円曲線における複素幾何側とシミプレクティック側の三重積の間の明示的ホモトピーを、$\overline{\partial}^{-1}$-項の比較と循環的対称性を用いて構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモロジカルミラー対称性予想は、シミプレクティック側と複素幾何側の両方に$A_{\infty}$-カテゴリを含める形に再定式化可能か。これにより、$A_{\infty}$-カテゴリと標準的導来カテゴリの間の非対称性が解消されるか。
• RQ2 ヒルベルト計量と調和形式を用いて、コherent層の導来カテゴリに$A_{\infty}$-構造を自然に定義する方法は何か。
• RQ3 複素幾何側の$A_{\infty}$-構造における高次積は、フロアー上同調の下で、シミプレクティック側のそれらとホモトピー同値に等価か。
• RQ4 楕円曲線上の線分束に関して、調和代表元によって定義される複素幾何側の三重積と、$\overline{\partial}$-閉形式によって定義されるシミプレクティック側の三重積は一致するか。
• RQ5 $\mathcal{D}^{b}_{\infty}(X)$上の$A_{\infty}$-構造は循環的対称性を満たすか。また、その対称性はシミプレクティック側の構造と整合するか。

主な発見

• ヒルベルト計量の選択に依存しない$A_{\infty}$-構造はホモトピー同値性の意味で不変であり、その堅牢性が保証される。
• 複素幾何側の$\mathcal{D}^{b}_{\infty}(X)$における高次積$m_k$は、調和代表元が積に関して閉じていないことの障害を測定し、$m_1 = 0$、$m_2$は標準的合成である。
• 楕円曲線の場合、複素幾何的構造から定義される三重積$m_3$と、シミプレクティックなフロアー理論から定義される三重積は、$\overline{\partial}^{-1}$-項を含む明示的ホモトピー式によって自然にホモトピー同値であることが示された。
• 楕円曲線上の線分束におけるすべての横断的三重積は、$A_{\infty}$-公理を用いて、単値で明確に定義されたマッセイ積を含む基本的ケースに還元可能である。
• 複素幾何側とシミプレクティック側の三重積の間のホモトピーは、セール双対性と循環的対称性との整合性により、すべての横断的構成に拡張可能である。
• $\mathcal{D}^{b}_{\infty}(X)$上の$A_{\infty}$-構造は明示的な循環的対称性を満たし、これは標準的導来カテゴリには一般に存在しない性質である。