[논문 리뷰] Homological S-Duality in 4d N=2 QFTs

Matteo Caorsi, Sergio Cecotti|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 23.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 4차원 N=2 양자장론에서 S dualities를 호모로지적 프레임워크로 정립한다. S-duality 그룹 S(F)를 클러스터 카테고리 C(F)의 삼각 자동동치군으로 식별하고, 물리적 관측량에 대해 자명한 작용을 하는 것들을 제외한 나머지로 정의한다. S(F)는 쿨롱 분지 차원 g에 대해 Sp(2g, Z)의 이산 부분군임을 보이며, 일반화된 브레인 군과 텔레스코픽 함자들을 통해 구체적인 행렬 표현을 제시한다. 이는 SO(8) × SO(5)^3 × SO(3)^6과 같은 모델에서 증강된 S-duality를 드러낸다.

ABSTRACT

The $S$-duality group $\mathbb{S}(\mathcal{F})$ of a 4d $\mathcal{N}=2$ supersymmetric theory $\mathcal{F}$ is identified with the group of triangle auto-equivalences of its cluster category $\mathscr{C}(\mathcal{F})$ modulo the subgroup acting trivially on the physical quantities. $\mathbb{S}(\mathcal{F})$ is a discrete group commensurable to a subgroup of the Siegel modular group $Sp(2g,\mathbb{Z})$ ($g$ being the dimension of the Coulomb branch). This identification reduces the determination of the $S$-duality group of a given $\mathcal{N}=2$ theory to a problem in homological algebra. In this paper we describe the techniques which make the computation straightforward for a large class of $\mathcal{N}=2$ QFTs. The group $\mathbb{S}(\mathcal{F})$ is naturally presented as a generalized braid group. The $S$-duality groups are often larger than expected. In some models the enhancement of $S$-duality is quite spectacular. For instance, a QFT with a huge $S$-duality group is the Lagrangian SCFT with gauge group $SO(8) imes SO(5)^3 imes SO(3)^6$ and half-hypermultiplets in the bi- and tri-spinor representations. We focus on four families of examples: the $\mathcal{N}=2$ SCFTs of the form $(G,G^\prime)$, $D_p(G)$, and $E_r^{(1,1)}(G)$, as well as the asymptotically-free theories $(G,\widehat{H})$ (which contain $\mathcal{N}=2$ SQCD as a special case). For the $E_r^{(1,1)}(G)$ models we confirm the presence of the $PSL(2,\mathbb{Z})$ $S$-duality group predicted by Del Zotto, Vafa and Xie, but for most models in this class $S$-duality gets enhanced to a much larger group.

연구 동기 및 목표

• 4차원 N=2 양자장론 F의 S-duality 그룹 S(F)를 그 클러스터 카테고리 C(F)의 삼각 자동동치군으로 식별하고, 물리적 관측량에 대해 자명한 작용을 하는 것들을 제외한다.
• S(F)의 계산 문제를 유도된 카테고리와 루트 카테고리의 자동동치와 연결함으로써 호모로지 대수학 문제로 환원한다.
• SCFT 및 渐近 자유 이론을 포함한 광범위한 N=2 이론 클래스에 대해 S(F)를 체계적으로 계산할 수 있는 방법을 제공한다.
• 반드시 예상치 못한 방식으로 S-duality가 증강됨을 보이며, 특히 스핀르 표현을 가진 반하이퍼멀티플릿을 가진 이론들에서 두드러진다.
• S(F)를 일반화된 브레인 군으로서의 구체적인 행렬 표현을 수립하고, 이는 시겔 모듈라 군 Sp(2g, Z)와 연결된다.

제안 방법

• 4차원 N=2 양자장론 F에 관련된 클러스터 카테고리 C(F)를 정의하며, BPS 상태는 카테고리의 객체로 대응된다.
• S-duality 그룹 S(F)를 C(F)의 삼각 자동동치군으로 식별하고, 물리적 관측량에 대해 자명한 작용을 하는 것들을 제외한다.
• 카테고리적 4차원/2차원 대응을 통해 루트 카테고리 R(˜F)를 통해 4차원 이론과 2차원 양자장론을 연결하고, S-duality를 양자 모노드로미와 연결한다.
• 특히 유도된 카테고리에서 구면 반궤도를 사용하여 토머스-세일드 테스트와 텔레스코픽 함자를 통해 자동동치를 구성한다.
• S(F)를 2차원 양자 모노드로미와 유도된 피카르 군에서 유도된 행렬 LA를 통해 맛 라티스 위에 작용하는 행렬군으로 실현한다.
• 이 프레임워크를 특정 클래스에 적용한다: (G, G′), Dp(G), E(1,1)_r(G), 및 (G, bH)이며, 이중 함수와 표준 양성장 이론 섹터를 사용하여 이중성 군을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호모로지 대수학을 활용하여 4차원 N=2 양자장론의 S-duality 그룹 S(F)를 어떻게 체계적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 S(F)의 정확한 대수적 구조는 무엇이며, 시겔 모듈라 군 Sp(2g, Z)와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 왜 일부 N=2 이론들, 특히 스핀르 표현을 가진 반하이퍼멀티플릿을 포함하는 이론들에서는 S-duality가 예상보다 크게 증강되는가?
• RQ4 클러스터 카테고리 C(F)의 자동동치는 물리적 S-duality 변환과 어떻게 대응되는가?
• RQ5 4차원 S-duality 그룹은 일반화된 브레인 군으로서 실현될 수 있으며, 그 행렬 표현은 무엇인가?

주요 결과

• S-duality 그룹 S(F)는 물리적 관측량에 대해 자명한 작용을 하는 것들을 제외한 클러스터 카테고리 C(F)의 삼각 자동동치군과 동형이다.
• S(F)는 쿨롱 분지 차원 g에 대해 Sp(2g, Z)의 부분군과 공통성을 가지는 이산군이며, 이를 통해 명시적인 행렬 표현이 가능하다.
• E(1,1)_r(G) 모델에 대해, 델 츠오토, 바파, 샤이의 예측한 PSL(2, Z) 이중성은 확인되나, 일반적으로 더 큰 군으로 증강됨을 보여준다.
• 게이지 군이 SO(8) × SO(5)^3 × SO(3)^6이고 반하이퍼멀티플릿이 비-스핀르 및 삼중 스핀르 표현을 가진 라그랑주 SCFT의 경우, S(F)는 매우 크며, S-duality의 놀라운 증강을 나타낸다.
• S-duality 그룹은 자연스럽게 일반화된 브레인 군으로 표현되며, 생성자는 루트 카테고리 R(˜F)의 구면 반궤도와 텔레스코픽 함자에서 유도된다.
• 2차원 양자 모노드로미에서 유도된 행렬 LA는 맛 라티스 위에 S(F)의 작용을 실현하며, 맛 대칭의 웨일 군으로 작용하며, 일부 경우에 복소 반사 군의 구조를 가진다.