[論文レビュー] Homologie et cohomologie de Hochschild de certaines algebres polynomiales classiques et quantiques

Lionel Richard|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、行列 Λ と整数 r でパラメータ化される、古典的および量子的構造を統合する非可換多項式代数のホッホシュイルドホモロジーおよびコホモロジーを計算する。量子コシュール複体と還元技術を用いて、半古典的状況（r = n）ではホッホシュイルドホモロジーが次数 2n に集中し、基底体 k に同型であり、ピオンカレーダイアリティを満たすことを証明する。自由状況（Λ が自由アーベル群を生成する）では、ホモロジーは次数 0, 1, 2r で非自明である。

ABSTRACT

We study Hochschild homology and cohomology for some polynomial algebras mixing both ``classical'' relations ($XY-YX=1$) and ``quantum'' relations ($XY=łYX$). More specifically, we prove that the algebra of differential operators on any quantum affine space (quantum Weyl algebra) have the same Hochschild homology, and satisfy the same duality relation, as the classical Weyl algebra does.

研究の動機と目的

• 古典的ウェイラー代数と量子多項式代数の間を滑らかに補間する非可換多項式代数のホッホシュイルドホモロジーおよびコホモロジーを計算すること。
• 多パrameter量子空間上のねじれ微分作用素として生じる代数のホモロジー的構造を理解すること。
• 半古典的状況（r = n）においてピオンカレーダイアリティが成り立つかどうかを特定し、既知の古典的および完全に量子的な状況への結果を拡張すること。
• パラメータ λi,j が最大ランクの自由アーベル群を生成する「自由」状況におけるホモロジーを分析すること。
• パラメータが単位根である特異状況において双対性が成立しない理由を、低次元での明示的計算を用いて調査すること。

提案手法

• 生成子 xi（古典的）および yj（量子的）をもち、行列 Λ を用いた特定の交換関係を満たす AΛn,r を反復オア拡張として構成する。
• Wambst による量子コシュール複体を用いてホッホシュイルドホモロジーを計算し、フィルトレーションを適用してより小さな部分複体（KC）に還元する。
• 生成子の数を下に向けた下降的帰納法を用いて、商複体 K/KC の非分解性を証明する。
• 単項式 xαyβ が k-基底としての構造を用い、微分作用素の作用を分析し、低次のホモロジーを計算する。
• 微分作用素および自己準同型の理論を用いて、特異状況（n=2, r=1, λ が単位根）における HH0 および HH1 を明示的に計算する。
• 同じ複体を用いてコホモロジーを解析し、ホモロジー代数における双対性定理を応用することで、半古典的状況におけるピオンカレーダイアリティを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の Λ に対して、r = n（半古典的状況）のとき AΛn,r のホッホシュイルドホモロジーはどのように振る舞うか？
• RQ2 パラメータ λi,j がランク n(n−1)/2 の自由アーベル群を生成するとき、AΛn,r のホッホシュイルドホモロジーはどのように振る舞うか？
• RQ3 AΛn,n のホッホシュイルドホモロジーに対してピオンカレーダイアリティが成り立つか？もしそうなら、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 λ が単位根である特異状況（例：AΛ2,1）ではホモロジーはどのように変化するか？
• RQ5 半古典的および自由状況を超えて、このような混合量子的・古典的代数のホモロジーを明示的に計算することは可能か？

主な発見

• 半古典的状況（r = n）では、AΛn,n のホッホシュイルドホモロジーは次数 2n に集中し、基底体 k に同型であり、すなわち HH∗(AΛn,n) = k[2n] である。
• 自由状況（Λ がランク n(n−1)/2 の自由アーベル群を生成する）では、AΛn,r のホッホシュイルドホモロジーは次数 0, 1, 2r のみで非自明である。
• 特異状況 n=2, r=1 で λ が単位根であるとき、HH0(AΛ2,1) = HH1(AΛ2,1) = k であり、HH2(AΛ2,1) は非自明であるが、双対性は成立しない。
• 代数 AΛn,n はピオンカレーダイアリティを満たす：HH∗(AΛn,n) ≅ HH2n−∗(AΛn,n) であり、双対化モジュールは次数 2n における k である。
• 一般に、同じ複体を用いて AΛn,r のコホモロジーが計算可能であり、双対性はコシュール複体およびその部分複体の構造から確立される。
• λ が単位根である場合の双対性の失敗は、HHd−1 と HHd が両方とも k であるためには d=2 でなければならないが、これは既知の次数 2 のホモロジーと矛盾することを示すことによって示される。