[論文レビュー] Homomorphisms of quantum groups

Ralf Meyer, Sutanu Roy+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 42

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクトな量子群の間のホモーモーフィズムが、双キャラクターと双対およびユニバーサル量子群のテンソル積の乗法的代数における双対性によって同値に記述されることを確立している。主な貢献は、すべてのモジュラー乗法的ユニタリが「基本的」であることを証明し、ハール測度を仮定しないまま、還元型双キャラクターをユニバーサル量子群に持ち上げられることを示したことである。これにより、NgとKustermansの枠組みが一般化される。

ABSTRACT

We introduce some equivalent notions of homomorphisms between quantum groups that behave well with respect to duality of quantum groups. Our equivalent definitions are based on bicharacters, coactions, and universal quantum groups, respectively.

研究の動機と目的

• 非可換な局所コンパクトな量子群に対しても双対性と整合する形で、量子群のホモーモーフィズムを定義・特徴づけること。
• ホップ ∗-ホモーモーフィズムが還元型 C*-代数に双対写像を誘導しないという問題を解決すること、特に非可換群に対して。
• 量子群のホモーモーフィズムを $C$ から $A$ に写す双キャラクターが、$\mathcal{U}\mathcal{M}(\hat{C} \otimes A)$ に属するものによって完全に分類されることを示し、明確で実用的な特徴づけを提供すること。
• すべてのモジュラー乗法的ユニタリが「基本的」であることを証明し、ハール測度を仮定しないまま還元型双キャラクターをユニバーサルレベルに持ち上げられることを示すこと。
• NgとKustermansの既存の枠組みを統合・一般化し、コアクティオン関手、双キャラクター、ホップ ∗-ホモーモーフィズムの間の同値性を確立すること。

提案手法

• 忘却関手と可換となるコアクティオンのカテゴリ間の関手として量子群ホモーモーフィズムを定義し、カテゴリー論的基盤を提供すること。
• ホップ ∗-ホモーモーフィズム $f: C \to A$ から、$V_f = (\text{id}_{\hat{C}} \otimes f)(W^C) \in \mathcal{U}\mathcal{M}(\hat{C} \otimes A)$ というユニタリ乗法的多元を構成し、それが双キャラクターの関係を満たすことを示すこと。
• 双キャラクターの公理 $(\Delta_{\hat{C}} \otimes \text{id}_A)V = V_{23}V_{13}$ および $(\text{id}_{\hat{C}} \otimes \Delta_A)V = V_{12}V_{13}$ を用いて、$\mathcal{U}\mathcal{M}(\hat{C} \otimes A)$ 内の双キャラクターと量子群ホモーモーフィズムの間の双対的対応を証明すること。
• ハール測度を仮定しないで、モジュラー乗法的ユニタリ構造を用いて、$\mathcal{U}\mathcal{M}(\hat{C} \otimes C)$ 内の還元型双キャラクターを $\mathcal{U}\mathcal{M}(\hat{C}^u \otimes C^u)$ に持ち上げること。
• 乗法的ユニタリとユニバーサル量子群の理論を用いて、すべてのモジュラー乗法的ユニタリがNgの意味で「基本的」であることを示し、持ち上げが常に可能であることを保証すること。
• 双キャラクターの合成法則を、畳み込み積 $V^{C \to A} * V^{A \to B} = (\text{id}_C \otimes f)(V^{C \to A})$ によって定義し、$f: A \to B$ がホップ ∗-ホモーモーフィズムである場合に適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ ∗-ホモーモーフィズムが還元型 C*-代数に双対写像を誘導しない場合に、双対性と整合する形で量子群ホモーモーフィズムをどのように特徴づけられるか。
• RQ2 コアクティオンカテゴリ上の関手、双キャラクター、ホップ ∗-ホモーモーフィズムの間の正確な関係は何か。
• RQ3 局所コンパクトな量子群の還元型双キャラクターが、どのような条件下でユニバーサルレベルに持ち上げられるか。
• RQ4 ハール測度の存在を仮定しないで、すべてのモジュラー乗法的ユニタリに対して双キャラクターの持ち上げが可能か。
• RQ5 双キャラクターはどのように合成され、量子群ホモーモーフィズムの合成に対応する構造は何か。

主な発見

• 量子群ホモーモーフィズム $C$ から $A$ へのものは、双キャラクター公理を満たすユニタリ乗法的多元 $V \in \mathcal{U}\mathcal{M}(\hat{C} \otimes A)$ とちょうど一対一に対応する。
• 構成 $V_f = (\text{id}_{\hat{C}} \otimes f)(W^C)$ は、ホップ ∗-ホモーモーフィズムと双キャラクターの間の自然な対応を確立する。
• すべてのモジュラー乗法的ユニタリは、Ngの意味で「基本的」であり、ハール測度を仮定しないで還元型双キャラクターがユニバーサル量子群のレベルに持ち上げられることを意味する。
• 双キャラクターの持ち上げにより、モジュラー乗法的ユニタリによって定義されるすべての局所コンパクトな量子群に対して、双キャラクターによる量子群ホモーモーフィズムの理論が適用可能になる。
• ホモーモーフィズムの合成は、双キャラクターの畳み込みに対応する：$V^{C \to B} = V^{A \to B} * V^{C \to A}$ であり、$f: A \to B$ がホップ ∗-ホモーモーフィズムのとき、明示的な式 $V^{C \to B} = (\text{id}_C \otimes f)(V^{C \to A})$ が成り立つ。
• 右量子群ホモーモーフィズムは、$C$ のヒルベルト空間上のコアリスレーションから、同じヒルベルト空間上の $A$ のコアリスレーションへの自然な写像を、コアクティオンの函手的性質によって誘導する。