[논문 리뷰] Homotopical inverse diagrams in categories with attributes

Chris Kapulkin, Peter LeFanu Lumsdaine|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 속성 카테고리(CwA)에서 호모토피 역도형을 구성하여, 기저 CwA에서 Π-형식, 동치형식, Σ-형식과 같은 논리적 구조가 역카테고리 위의 도형 CwA로 올라간다는 것을 보여준다. 적절한 조건 하에서 Reedy 형식과 호모토피 도형이 이러한 구조에 대해 닫혀 있는 부분 CwA를 이룬다는 것을 입증하며, 호모토피 유형 이론의 도형 모델을 위한 일반적인 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We define and develop the infrastructure of homotopical inverse diagrams in categories with attributes. Specifically, given a category with attributes $C$ and an ordered homotopical inverse category $I$, we construct the category with attributes $C^I$ of homotopical diagrams of shape $I$ in $C$ and Reedy types over these; and we show how various logical structure ($Π$-types, identity types, and so on) lifts from $C$ to $C^I$. This may be seen as providing a general class of diagram models of type theory. In a companion paper "The homotopy theory of type theories" (arXiv:1610.00037), we apply the present results to construct semi-model structures on categories of contextual categories.

연구 동기 및 목표

• 카테고리와 속성(CwA)을 사용하여 호모토피 유형 이론의 도형 모델을 위한 일반적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 유형 이론의 논리적 생성자가 엄밀히 함자적이지 않다는 도전 과제를 해결하기 위해, 역카테고리 위의 Reedy 도형을 사용하기 위해.
• 핵심 유형 이론적 구조(Π, Σ, 동치형식)가 기저 CwA에서 그에 상응하는 도형 CwA로 올라간다는 것을 보여주기 위해.
• 이 프레임워크 내에서 등가성을 보존하는 도형—즉, 호모토피 도형—을 정의하고 분석하기 위해.
• 특히 기능적 외삽성과 등가성 가정 하에서 도형 CwA가 논리적 구조를 상속할 수 있는 조건을 확립하기 위해.

제안 방법

• 기저 CwA $ C $ 내에서 형태 $ I $의 도형의 카테고리 $ C^I $를 정의하며, 이는 역카테고리 $ I $ 위의 Reedy 형식을 사용한다.
• 도형의 구조를 다루고 논리 연산의 올림을 가능하게 하기 위해 Reedy 극한과 매칭 객체를 구성한다.
• Reedy 형식의 인fra스트럭처를 활용하여, $ C $ 에서 $ C^I $ 로의 동치형식, Π-형식, Σ-형식, 단위형식을 체계적으로 올린다.
• 특정 등가성을 C 내의 유형 이론적 등가성으로 보존하는 도형으로서, $ C^I $ 의 부분 CwA $ C^I_{\text{h}} \subseteq C^I $ 를 정의한다.
• 추가 가정(예: $ I $ 의 모든 사상이 등가성임) 하에서 $ C^I_{\text{h}} $ 가 논리적 구조에 대해 닫혀 있음을 증명한다.
• 함자 $ u: J \to I $ 에 의해 유도되는 함자 $ C^I \to C^J $ 의 유도된 함자를 분석하며, 이들이 국소 피브레이션 또는 국소 등가성임을 보일 조건을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역카테고리 위의 Reedy 도형은 어떻게 CwA 내에서 유형 이론의 도형 모델을 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 기저 CwA에서 Π-형식이나 동치형식과 같은 논리적 구조가 기저 CwA에서의 도형 CwA로 올라가는 조건은 무엇인가?
• RQ3 호모토피 도형의 부분 CwA가 논리적 구조에 대해 닫혀 있는 경우는 언제이며, 특히 기능적 외삽성 하에서 어떻게 되는가?
• RQ4 함자 $ u: J \to I $ 에 의해 유도되는 도형 함자 $ C^I \to C^J $ 가 국소 피브레이션 또는 국소 등가성임을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 올락 도형이나 이해관계 카테고리로 일반화될 수 있으며, 이를 위해 필요한 수정은 무엇인가?

주요 결과

• 역카테고리 $ I $ 이면, CwA $ C $ 내에서 형태 $ I $ 의 도형의 카테고리 $ C^I $ 는 Reedy 형식을 갖추고, CwA를 이룬다.
• C 가 동치형식, Π, Σ, 또는 단위형식을 갖는다면(Π의 경우 기능적 외삽성 필요), $ C^I $ 는 이러한 구조를 상속한다.
• 등가성을 보존하는 도형—즉, $ C^I_{\text{h}} $—으로서의 호모토피 도형의 부분 CwA는 동치형식에 대해 닫혀 있으며, 추가 가정 하에 Σ-형식, 단위형식, Π-형식에 대해서도 닫혀 있다.
• I 의 모든 사상이 등가성이고 C 가 기능적 외삽성을 갖는다면, $ C^I_{\text{h}} $ 는 Π-형식에 대해 닫혀 있다.
• 함자 $ u: J \to I $ 에 대한 적절한 조건 하에서, 유도된 함자 $ C^I \to C^J $ 는 국소 피브레이션 또는 국소 등가성임을 보였다. 이는 동반 논문 [KL18] 에서 정의된 그 조건을 따른다.
• 이 구조들은 연속적 카테고리 위의 준모델 구조를 위한 일반적인 프레임워크를 제공하며, 이는 동반 논문 arXiv:1610.00037 에 응용되었다.