[論文レビュー] Homotopy invariance of non-stable K_1-functors

Anastasia Stavrova|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、体上の再帰的代数的群の非安定 $K_1$-関手について、ホモトピー不変性を確立する。$G$ のすべての半単純正規部分群が、有理的ランク $\geq 2$ を持つとき、任意の $n \geq 1$ に対して $K_1^G(k) \cong K_1^G(k[X_1,\ldots,X_n])$ が成り立つ。この結果は、Suslin と Abe の古典的定理を有理的再帰的群へ一般化し、$k$ が完備であるという仮定の下で、正則 $k$-代数および分数体 $K$ を持つ局所正則 $k$-代数に対してもホモトピー不変性を拡張する。証明は一般化された切除序列と、基本的部分群に関する局所-大域原理に依拠する。

ABSTRACT

Let G be reductive algebraic group over a field k, such that every semisimple normal subgroup of G has isotropic rank >=2. Let K_1^G be the non-stable K_1-functor associated to G (also called the Whitehead group of G in the field case). We show that K_1^G(k)=K_1^G(k[X_1,...,X_n]) for any n>= 1. This implies that K_1^G is A^1-homotopy invariant on the category of regular k-algebras, if k is perfect. If k is infinite perfect, one also deduces that K_1^G(R)-> K_1^G(K) is injective for any regular local k-algebra R with the fraction field K.

研究の動機と目的

• 体 $k$ 上の再帰的代数的群 $G$ に対する非安定 $K_1^G$-関手のホモトピー不変性を確立すること。
• Suslin と Abe の $K_1^G$-不変性に関する古典的結果を $\mathrm{GL}_l$ やシミレティック群から、有理的再帰的群へ一般化すること。
• 体 $k$ が無限大で完備であるとき、分数体 $K$ を持つ局所正則 $k$-代数 $R$ に対して、$K_1^G(R) \to K_1^G(K)$ が単射であることを証明すること。
• $\mathbb{A}^1$-ホモトピー不変性が有理的再帰的群へ拡張可能であることを示し、将来のモチーフホモトピー理論への応用を支援すること。

提案手法

• 可換環上での $K_1^G$ に対する一般化された切除序列を証明し、有理的性条件の下で $1 \to K_1^G(A) \to K_1^G(A[X]) \times K_1^G(A[X^{-1}]) \to K_1^G(A[X,X^{-1}])$ の完全性を示すこと。
• $n$ に関する帰納法を用いて、$n \geq 1$ に対して $K_1^G(k) \cong K_1^G(k[X_1,\ldots,X_n])$ を証明し、$n=1$ の基本ケースでは Margaux–Soulé の定理を用いる。
• Suslin の局所-大域原理を適用して問題を局所環に還元し、Lindel の補題を用いて適切な部分環 $B$ と要素 $h$ を構成する（$Ah + B = A$ を満たす）。
• Popescu の定理を用いて、一般の正則 $k$-代数のケースを、本質的に有限型の正則 $k$-代数のケースに還元する。
• $K_1^G(A) \to K_1^G(K)$ の単射性を示すために、$L(X)$ に属する $G(L)$ の任意の要素が $E(L)$ に属することを示す。これは、分母多項式が 0 でない点 $a \in L$ における評価を用いることで達成される。
• $G$ 及びその未圧縮部分群が $k$ 上で有限生成であるため、$G(-)$ と $E(-)$ は有向極限と可換であることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非安定 $K_1$-関手 $K_1^G$ は、体 $k$ 上の有理的再帰的群に対してホモトピー不変性を満たすか？
• RQ2 Suslin と Abe の古典的 $K_1^G$-不変性結果は、半単純正規部分群に $(\mathbf{G}_m)^2$ を含む再帰的群へ拡張可能か？
• RQ3 体 $k$ が完備かつ無限大であるとき、分数体 $K$ を持つ局所正則 $k$-代数 $R$ に対して、自然な写像 $K_1^G(R) \to K_1^G(K)$ は単射か？
• RQ4 $\mathbb{A}^1$-ホモトピー不変性は、有理的再帰的群に対して成り立つか？Morel や Wendt の結果を一般化するか？

主な発見

• 非安定 $K_1$-関手 $K_1^G$ は多項式拡張に関して不変である：$G$ のすべての半単純正規部分群が有理的ランク $\geq 2$ を持つとき、任意の $n \geq 1$ に対して $K_1^G(k) \cong K_1^G(k[X_1,\ldots,X_n])$ が成り立つ。
• 任意の完備体 $k$ に対して、すべての正則 $k$-代数 $R$ に対して $K_1^G(R) \cong K_1^G(R[X])$ が成り立つ。これはホモトピー不変性を広範な環のクラスへ拡張する。
• 体 $k$ が無限大で完備であるとき、分数体 $K$ を持つ任意の局所正則 $k$-代数 $R$ に対して、自然な写像 $K_1^G(R) \to K_1^G(K)$ は単射である。
• $G$ が単連結で有理的であるとき、すべての $m,n \geq 1$ に対して、強い同型 $K_1^G(k) \cong K_1^G(k[X_1,\ldots,X_n,Y_1,Y_1^{-1},\ldots,Y_m,Y_m^{-1}])$ が成り立つ。
• 再帰的群の系列 $1 \to K_1^G(A) \to K_1^G(A[X]) \times K_1^G(A[X^{-1}]) \to K_1^G(A[X,X^{-1}])$ は、すべての局所化において有理的性条件を満たす再帰的群のスキーム $G$ over $A$ に対して完全である。
• $K_1^G(A) \to K_1^G(K)$ の単射性は、任意の分母多項式 $f$ に対して $f(a) \neq 0$ となる点 $a \in L$ の存在に起因する。これにより、$L(X)$ から $L$ への評価が下方へ降下可能となる。