[論文レビュー] Homotopy weighted colimits

Lukáš Vokřínek|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2012

Drug Transport and Resistance Mechanisms参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、豊広化モデル圏におけるホモトピー加重コリミットを導入し、特徴づける。図式が点毎にコバナルで、重みが射影的モデル構造においてコバナルであるとき、これらがホモトピーテンソルと通常のホモトピーコリミットに分解されることを示す。主な貢献は、古典的なコエンド公式 $W \star C D \simeq \int^C (W \otimes D)$ をホモトピー的設定に一般化したもので、応用として、単体的豊広化は新たな表現力を追加しないが、dg-圏は追加する。

ABSTRACT

Let V be a cofibrantly generated closed symmetric monoidal model category and M a model V-category. We say that a weighted colimit W*D of a diagram D weighted by W is a homotopy weighted colimit if the diagram D is pointwise cofibrant and the weight W is cofibrant in the projective model structure on [C^op,V]. We then proceed to describe such homotopy weighted colimits through homotopy tensors and ordinary (conical) homotopy colimits. This is a homotopy version of the well known isomorphism W*D=\int^C(W ensor D). After proving this homotopy decomposition in general we study in some detail a few special cases. For simplicial sets tensors may be replaced up to weak equivalence by conical homotopy colimits and thus the weighted homotopy colimits have no added value. The situation is completely different for model dg-categories where the desuspension cannot be constructed from conical homotopy colimits. In the last section we characterize those V-functors inducing a Quillen equivalence on the enriched presheaf categories.

研究の動機と目的

• 豊広化モデル圏におけるホモトピー加重コリミットの定義と特徴づけ。
• 古典的なコエンド公式 $W \star C D \cong \int^C (W \otimes D)$ をホモトピー的設定に一般化すること。
• 単体的集合、単体的アーベル群、および圏といった異なる豊広化における、ホモトピー加重コリミットと通常のホモトピーコリミットの表現力の比較。

提案手法

• 図式が点毎にコバナルで、重みが $[C^{op}, V]$ 上の射影的モデル構造においてコバナルであるとき、ホモトピー加重コリミットを重み付きコリミットとして定義する。
• 任意のモノイダルモデル圏 $V$ に対して一般化されたバウスフィールド＝カンの公式を用いて、ホモトピーテンソルと通常のホモトピーコリミットを介してホモトピー加重コリミットを表現する。
• コサイクリック対象上のリーディー・モデル構造を適用し、ココーンの圏のナーブを基にした重み付きコリミットとしてホモトピーコリミットを定義する。
• 立方体図式とプッシュアウトコーナーマップを用いて、豊広化設定におけるコバナリティおよびホモトピー的コカルテジアン性を分析する。
• クィレンの定理（クィレン同値性）を適用し、ホモトピー絶対加重コリミットを介して、プレシェーブカテゴリ上のクィレン同値性を誘導する関手を特徴付ける。
• 完全部分圏が単体に沿ったテンソル作用に関して閉じているならば、その部分圏が円形ホモトピー的稠密であるための必要十分条件は、単体的ホモトピー的稠密であることである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル $V$-圏における重み付きコリミットがホモトピー不変な構成である、すなわちホモトピー加重コリミットであるのはいつか？
• RQ2 ホモトピー加重コリミットは、ホモトピーテンソルと通常のホモトピーコリミットをどのように表現できるか？
• RQ3 単体的集合におけるホモトピー加重コリミットの表現力は、通常のホモトピーコリミットと比べてどの程度か？
• RQ4 dg-圏上のホモトピー加重コリミットは、通常のホモトピーコリミットのみから構成可能か？
• RQ5 どの $V$-関手 $F: D \to C$ が、豊広化プレシェーブカテゴリ上でクィレン同値性を誘導するか？

主な発見

• ホモトピー加重コリミットは、図式が点毎にコバナルで、重みが射影的モデル構造においてコバナルである重み付きコリミットとして特徴づけられる。
• ホモトピー加重コリミット $W \star C D$ は、圏 $C$ を通じたテンソル積 $W \otimes D$ のホモトピーコリミットと弱同値である。これは、古典的なコエンド公式をホモトピー設定に一般化したものである。
• 単体的モデル圏では、ホモトピー加重コリミットは通常のホモトピーコリミットの表現力を拡張しない。なぜなら、標準単体によるテンソル作用は弱同値の意味で自明だからである。
• モデル dg-圏では、デススペンション関手（$\mathbb{Z}[-1]$ によるテンソル作用）は通常のホモトピーコリミットとして表現できない。これは、ホモトピー加重コリミットが新たな表現力を追加することを示している。
• $V$-関手 $F: D \to C$ がプレシェーブカテゴリ上でクィレン同値性を誘導するための必要十分条件は、ホモトピー絶対加重コリミットを保存することであり、$V = \mathrm{sSet}, \mathrm{sAb}, \mathrm{Cat}$ の場合に完全な特徴づけが与えられている。
• 単体的モデル圏 $M$ のコバナル部分圏 $C \subseteq M_{\mathrm{cof}}$ が単体に沿ったテンソル作用に関して閉じているならば、$C$ が円形ホモトピー的稠密であるための必要十分条件は、単体的ホモトピー的稠密であることである。