[論文レビュー] How distant is the ideal filter of being a causal one?

J. M. Almira, Alfonso E. Romero|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アナログおよびデジタル信号処理の文脈において、理想のバンドパスフィルタと物理的に実現可能な因果的フィルタの空間との間の距離と角度を定量的に評価する。フーリエ解析とヒルバート空間への射影を用いて、L²距離と角度の閉形式の式を導出し、これらが中心周波数とは無関係に帯域幅（b−a）にのみ依存することを示している。角度は常にπ/4未満であり、帯域幅が広がるか遅延Nが増加するにつれて0に近づく。

ABSTRACT

In this paper the characterization as convolution operators of filters sending finite energy signals to bounded signals is used to prove several theoretical results concerning the distance between the ideal filter and the spaces of physically realizable filters. Both the analog and the digital cases are studied and the formulas for the distance and the angle between the filters in each case are also given.

研究の動機と目的

• アナログおよびデジタル信号処理の文脈において、理想バンドパスフィルタと物理的に実現可能な因果的フィルタの空間との間の幾何的距離を特徴づけること。
• フーリエ解析と関数解析の数学的道具を用いて、理想フィルタが因果的であるまでにどの程度離れているかを特定すること。
• 中心周波数に依存しない、理想フィルタと因果的フィルタ空間との間の距離および角度の明示的式を導出すること。
• デジタルフィルタにおける帯域幅および遅延の影響を分析すること。

提案手法

• フィルタをL²空間における畳み込み作用素として表現し、周波数領域での挙動を解析するためにフーリエ変換を活用する。
• ヒルバート空間への射影理論を用いて、理想フィルタから因果的フィルタの閉部分空間へのL²距離を計算する。
• デジタルフィルタの場合、因果的フィルタをL²(0,2π)上の関数としてモデル化し、非負のインデックスにのみ支えられたフーリエ級数を持つことにより、最良近似の計算を可能にする。
• 物理的に実現可能なフィルタがlog|H(ξ)|の可積分性条件を満たすことを保証するために、ペイリー＝ウィーナの特徴付けを適用する。
• 特性関数χ_[a,b]のフーリエ係数に注目し、帯域幅（b−a）に着目して、距離と角度の閉形式の式を導出する。
• 帯域幅が0または2πに近づくとき、および遅延Nが増加するときの距離と角度の漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デジタル領域における理想バンドパスフィルタと因果的フィルタ空間との間のL²距離は何か？
• RQ2 理想フィルタと因果的フィルタ空間との間の角度は、通過帯域の帯域幅にどのように依存するか？
• RQ3 物理的に実現可能なフィルタの遅延Nが増加するとき、距離と角度はどのように変化するか？
• RQ4 なぜ理想フィルタは物理的に実現不可能であり、これはペイリー＝ウィーナ条件とどのように関係するか？
• RQ5 距離と角度はバンドパスの中心周波数に依存するのか、それとも帯域幅にのみ依存するのか？

主な発見

• 理想フィルタL_[a,b]とデジタル因果的フィルタ空間CF_dとの間の距離は、d(L_[a,b], CF_d) = √[(b−a)/(2π)] × √[1/2 − (b−a)/(4π)] で与えられ、これは帯域幅（b−a）にのみ依存する。
• 理想フィルタとCF_dとの間の角度θは、θ = arcsin(√[1/2 − (b−a)/(4π)]) を満たし、常にπ/4未満であり、(b−a)→0の極限でπ/4に近づき、(b−a)→2πの極限で0に近づく。
• 遅延Nを持つフィルタの場合、距離はd(L_[a,b], DF_N) = √[(b−a)/(2π)] × √{1/2 − (b−a)/(4π) − Σ_{k=1}^N [1−cos(k(b−a))]/(k²π(b−a))} で与えられ、Nが増加するにつれて減衰する。
• 角度の列θ(N)は厳密に単調減少であり、N→∞の極限で0に収束するため、遅延が大きいほど理想フィルタに近い近似が得られることを示している。
• 距離と角度はバンドパス区間[a,b]の中心周波数に依存せず、その長さ（b−a）にのみ依存する。
• 伝達関数H(w)が奇関数である場合、理想フィルタとCF_dとの間の角度は最大値π/4に達し、これは(b−a)→0の極限で実現される。