[論文レビュー] How much multifractality is included in monofractal signals?

Dariusz Grech, Grzegorz Pamuła|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2011

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限長の単フラクタル時系列における有限サンプル効果および長-range自己相関に起因する偽装マルチフラクタル性——「マルチフラクタルノイズ」と呼ばれる——を定量的に評価する。多様フラクタルなデトレンド型フラクチュエーション解析（MF-DFA）を用いて、マルチフラクタル幅が系列長 $L$ のべき乗則に従い、自己相関指数 $γ$ に対して線形に変化することを示す解析的公式を導出。金融データや他のデータにおける真のマルチフラクタル性とアーティファクトの区別が可能となる。

ABSTRACT

We investigate the presence of residual multifractal background for monofractal signals which appears due to the finite length of the signals and (or) due to the long memory the signals reveal. This phenomenon is investigated numerically within the multifractal detrended fluctuation analysis (MF-DFA) for artificially generated time series. Next, the analytical formulas enabling to describe the multifractal content in such signals are provided. Final results are shown in the frequently used generalized Hurst exponent h(q) multifractal scenario and are presented as a function of time series length L and the autocorrelation exponent value γ. The multifractal spectrum (α, f (α)) approach is also discussed. The obtained results may be significant in any practical application of multifractality, including financial data analysis, because the "true" multifractal effect should be clearly separated from the so called "multifractal noise". Examples from finance in this context are given. The provided formulas may help to decide whether we do deal with the signal of real multifractal origin or not.

研究の動機と目的

• 有限長の単フラクタル時系列に生じる真のマルチフラクタル性と偽装マルチフラクタル効果の区別という課題に対処する。
• 有限サンプルサイズおよび長-range記憶に起因する残存マルチフラクタル背景を特定・定量する。
• 系列長 $L$ および自己相関指数 $\gamma$ の観点から、この「マルチフラクタルノイズ」の大きさを推定する解析的公式を開発する。
• 特に、このようなアーティファクトが支配的である可能性がある金融時系列を含む実世界データにおける真正なマルチフラクタルダイナミクスの信頼できる検出を可能にする。
• 有限サイズ効果および自己相関に起因するマルチフラクタル性と、スケール依存相関によって駆動される真のマルチフラクタルスケーリングを分離するためのフレームワークを提供する。

提案手法

• 自己相関指数 $\gamma$ をパラメータとするフーリエフィルタリング法（FFM）を用いて、制御された長-range自己相関を持つ人工単フラクタル時系列を生成する。
• 各系列に対して多様フラクタルなデトレンド型フラクチュエーション解析（MF-DFA）を適用し、一般化されたハースト指数 $h(q)$ およびマルチフラクタルスペクトル $f(\alpha)$ を計算する。
• $L$ および自己相関指数 $\gamma$ の関数として、$h(q)$ の広がりおよびマルチフラクタルスペクトルの幅 $\Delta\alpha$ を分析する。
• 観測されたマルチフラクタル幅をべき乗則および線形関数にフィットする：$\Delta\alpha(\gamma,L) = D_1 L^{-\xi_1} \gamma + D_0 L^{-\xi_0} (1 - \gamma)$、ここでフィッティングパラメータ $D_1, \xi_1, D_0, \xi_0$ を得る。
• 系列長 $L = 2^9$ から $2^{20}$、自己相関指数 $\gamma = 0.1$ から $1.0$ の範囲で、$10^2$ 個の独立した実現のアンサンブルを用いて結果の統計的妥当性を検証する。
• 実際の金融データ（株価指数およびボラティリティ）と比較し、実証的マルチフラクタル信号におけるマルチフラクタルノイズの寄与度を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限サンプルサイズおよび長-range記憶に起因して、有限長の単フラクタル時系列にどの程度の偽装マルチフラクタル性が生じるか？
• RQ2 マルチフラクタル幅が時系列長 $L$ および自己相関指数 $\gamma$ に対してどのように依存するか？
• RQ3 マルチフラクタルノイズ閾値を解析的にモデル化する方法は何か？ これにより真のマルチフラクタルスケーリングと区別できるか？
• RQ4 有限サイズおよび自己相関に起因するマルチフラクタル性は、実際の金融データにおける観測されたマルチフラクタル特徴をどの程度支配しているか？
• RQ5 導出された解析的公式は、実証的時系列における真正なマルチフラクタルダイナミクスとアーティファクトを信頼性高く分離できるか？

主な発見

• 有限長の単フラクタル信号におけるマルチフラクタル幅 $\Delta\alpha$ は自己相関指数 $\gamma$ に対して線形に増加し、強い長-range依存性が偽装マルチフラクタル性を増幅することを示している。
• マルチフラクタル幅は時系列長 $L$ に対してべき乗則に従って減少し、$\Delta\alpha \sim L^{-\xi}$ となる。モデルの2つの成分について、$\xi_1 \approx 0.129$ および $\xi_0 \approx 0.089$ である。
• 解析的公式 $\Delta\alpha(\gamma,L) = D_1 L^{-\xi_1} \gamma + D_0 L^{-\xi_0} (1 - \gamma)$ は、マルチフラクタルノイズ閾値を正確に捉えており、$D_1 = 0.686$、$D_0 = 0.572$、95%信頼区間を併記している。
• 実際の金融データでは、フィリピン、台湾、ドイツ、アイルランドなどの株価指数において、観測されたマルチフラクタル性の最大80%〜100%が、真のスケール依存相関ではなく、有限サイズおよび自己相関に起因するアーティファクトによるものであると特定された。
• 一般化されたハースト指数 $h(q)$ は $q \neq 0$ に対して非線形に広がり、$\gamma$ が大きくなるほど広がり、$L$ が大きくなるほど狭まるため、残存マルチフラクタル性の存在が確認された。
• 金融時系列の実証的分析から、多くの市場において観測されたマルチフラクタル性は「マルチフラクタルノイズ」に支配されており、導出された公式を用いた補正がなければ、真のマルチフラクタルダイナミクスを推定することは困難であることが明らかになった。